Сколько метров поднимается мешочек с песком, если горизонтально летящая пуля со скоростью 500 м/с застревает в нем?

Moroznaya_Roza

48

Для решения данной задачи мы можем использовать закон сохранения импульса. Пуля и мешочек с песком обмениваются импульсом при столкновении. После столкновения общий импульс системы остается равным нулю, так как внешние силы отсутствуют. Выразим это математически:

\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0 \]

где \( m_1 \) и \( v_1 \) - масса и скорость пули, \( m_2 \) и \( v_2 \) - масса и скорость мешочка с песком.

У нас есть все значения, кроме скорости мешочка с песком. Мы можем выразить ее из данного уравнения:

\[ v_2 = -\frac{{m_1 \cdot v_1}}{{m_2}} \]

Подставим известные значения и решим уравнение:

\[ v_2 = -\frac{{0.006 \, \text{кг} \cdot 500 \, \text{м/с}}}{{6 \, \text{кг}}} \]

\[ v_2 = -0.05 \, \text{м/с} \]

Отрицательный знак означает, что мешочек с песком движется взад.

Теперь рассмотрим закон сохранения энергии. Кинетическая энергия пули при полёте превращается в потенциальную энергию мешочка с песком, поднимающегося вверх. Используя формулу для потенциальной энергии:

\[ E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h \]

где \( E_{\text{пот}} \) - потенциальная энергия, \( m \) - масса мешочка с песком, \( g \) - ускорение свободного падения (приближенно равное 9.8 м/с²), \( h \) - высота подъема.

Так как потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая энергия пули убывает, их сумма остается постоянной:

\[ E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = \text{const} \]

\[ \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 = m_2 \cdot g \cdot h \]

Подставим известные значения и решим уравнение для высоты подъема:

\[ \frac{1}{2} \cdot 0.006 \, \text{кг} \cdot (500 \, \text{м/с})^2 = 6 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot h \]

\[ 0.15 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2 = 58.8 \, \text{Н} \cdot \text{м} \cdot h \]

Теперь найдем высоту подъема:

\[ h = \frac{{0.15 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}}{{58.8 \, \text{Н} \cdot \text{м}}} \]

\[ h = 0.00255 \, \text{м} \]

Таким образом, мешочек с песком поднимается на 0.00255 метра.