Сколько покупок может совершить один покупатель в магазине, если в магазине 7 покупателей и каждый из них может

Лесной_Дух_6540

41

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся биномиальным распределением. Биномиальное распределение применяется, когда проводится серия однотипных независимых испытаний, и каждое испытание имеет два возможных исхода: успех или неудача. В данном случае, покупатель может либо совершить покупку, либо не совершить.

Параметры биномиального распределения:
n - количество испытаний (в нашем случае, количество покупателей)
p - вероятность успеха в каждом испытании (в нашем случае, вероятность покупки)
X - количество успехов в серии испытаний (количество покупок)

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

Искомая величина - количество покупок, совершенных покупателями, которое и представляет собой случайную величину X. Для каждого покупателя существуют два возможных исхода: совершение покупки с вероятностью 0,4 или несовершение покупки с вероятностью 0,6.

Чтобы определить вероятность того, что один конкретный покупатель совершит X покупок, нам понадобится использовать биномиальное распределение. Формула вероятности в данном случае будет выглядеть следующим образом:

\[P(X=k)=C_{n}^{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- \(C_{n}^{k}\) это биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из n по k и вычисляется по формуле \(C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
- \(p\) - вероятность успеха в каждом испытании (вероятность покупки) = 0,4
- \(k\) - количество покупок
- \(n\) - количество испытаний (количество покупателей) = 7

Таким образом, чтобы найти вероятность каждого возможного значения количества покупок (от 0 до 7), мы можем вычислить значение данной формулы для каждого \(k\) от 0 до 7.

Вычислим вероятность каждого значения \(k\):

Для \(k=0\):
\[P(X=0) = C_{7}^{0} \cdot 0.4^0 \cdot (1-0.4)^{7-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.6^7 = 0.028\]

Для \(k=1\):
\[P(X=1) = C_{7}^{1} \cdot 0.4^1 \cdot (1-0.4)^{7-1} = 7 \cdot 0.4 \cdot 0.6^6 = 0.1176\]

Для \(k=2\):
\[P(X=2) = C_{7}^{2} \cdot 0.4^2 \cdot (1-0.4)^{7-2} = 21 \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^5 = 0.2058\]

и так далее...

Мы можем продолжить этот расчет для каждого значения \(k\) от 0 до 7.

Теперь, поскольку мы знаем вероятность каждого значения \(k\), мы можем вычислить числовые характеристики этой случайной величины, такие как математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание (среднее значение) вычисляется по формуле:

\[E(X) = \sum k \cdot P(X=k)\]

Подставляя вероятности каждого значения k и выполняя вычисления, мы получим:

\[E(X) = 0 \cdot 0.028 + 1 \cdot 0.1176 + 2 \cdot 0.2058 + 3 \cdot 0.2508 + 4 \cdot 0.2144 + 5 \cdot 0.1286 + 6 \cdot 0.0429 + 7 \cdot 0.0081 \approx 3.08\]

Таким образом, математическое ожидание для данной случайной величины составляет около 3.08.

Дисперсия вычисляется по формуле:

\[Var(X) = E((X - E(X))^2) = \sum (k - E(X))^2 \cdot P(X=k)\]

Подставляя значения и выполняя вычисления, мы получим:

\[Var(X) = (0 - 3.08)^2 \cdot 0.028 + (1 - 3.08)^2 \cdot 0.1176 + (2 - 3.08)^2 \cdot 0.2058 + (3 - 3.08)^2 \cdot 0.2508\]
\[+ (4 - 3.08)^2 \cdot 0.2144 + (5 - 3.08)^2 \cdot 0.1286 + (6 - 3.08)^2 \cdot 0.0429 + (7 - 3.08)^2 \cdot 0.0081 \approx 1.836\]

Таким образом, дисперсия для данной случайной величины составляет около 1.836.

Теперь у нас есть ответы на все вопросы задачи. Мы определили, что количество покупок, совершенных покупателями, подчиняется биномиальному закону распределения. Математическое ожидание этой случайной величины равно примерно 3.08, а дисперсия около 1.836.