Сколько различных чисел может быть записано у Лены? Круг contains thirty whole numbers, whose sum is equal to five
Сколько различных чисел может быть записано у Лены? Круг contains thirty whole numbers, whose sum is equal to five. Лена calculated and wrote down on a piece of paper all possible sums of ten consecutive numbers (thirty sums in total). The largest of these sums turned out to be equal to six.
Зимний_Сон 59
для решения этой задачи, необходимо разобраться, какие числа могут быть записаны у Лены. Мы знаем, что в круге содержится тридцать целых чисел, сумма которых равна пяти.Для начала, давайте посмотрим, какие суммы Лена записала на листе бумаги. У нее есть все возможные суммы десяти последовательных чисел. Поскольку сумма всех чисел в круге равна пяти, значит, средняя сумма десяти чисел будет равна половине от пяти, то есть двух с половиной. Мы можем найти это, разделив пять на тридцать:
\(\frac{5}{30} = \frac{1}{6}\)
Это означает, что средняя сумма десяти последовательных чисел равна \(\frac{1}{6}\).
Теперь давайте найдем наибольшую из этих сумм. Мы знаем, что у Лены записаны все возможные суммы. Мы можем найти их, используя сумму арифметической прогрессии:
\[S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d)\]
где \(S_n\) - сумма n членов арифметической прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.
У нас есть \(n = 10\) (так как мы работаем с десятью последовательными числами), \(d = 1\) (так как числа идут последовательно), и выражение для наибольшей суммы будет выглядеть следующим образом:
\[S_{10} = \frac{10}{2}(2a + (10 - 1)1)\]
У нас есть формула для средней суммы, которая равна \(\frac{1}{6}\), и мы можем использовать ее, чтобы найти первый член прогрессии \(a\):
\[\frac{1}{6} = \frac{10}{2}(2a + (10 - 1)1)\]
Упрощая это уравнение, мы получим:
\[\frac{1}{6} = \frac{10}{2}(2a + 9)\]
Умножаем обе стороны на \(\frac{2}{10}\), чтобы избавиться от дробей:
\[\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{10} = 2a + 9\]
\[\frac{1}{30} = 2a + 9\]
Теперь мы можем решить это уравнение:
\(2a = \frac{1}{30} - 9\)
\(2a = -\frac{269}{30}\)
\(a = -\frac{269}{60}\)
Теперь, когда у нас есть первый член прогрессии, мы можем найти наибольшую сумму, подставив значения в уравнение для \(S_{10}\):
\[S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot -\frac{269}{60} + (10 - 1)1)\]
\[S_{10} = \frac{10}{2}(-\frac{269}{30} + 9)\]
\[S_{10} = 5(-\frac{269}{30} + \frac{270}{30})\]
\[S_{10} = 5 \cdot \frac{1}{30}\]
\[S_{10} = \frac{1}{6}\]
Таким образом, наибольшая сумма, записанная Леной, равна \(\frac{1}{6}\).
Итак, у Лены может быть записано только одно число, а именно \(\frac{1}{6}\).