Сколько резисторов сопротивлением R следует использовать и как их соединить, чтобы достичь максимальной мощности

Suslik_6245

46

Для достижения максимальной мощности выделения на данном соединении, необходимо использовать сопротивления, равные входному сопротивлению источника тока. Это также называется условием максимальной передачи мощности.

Давайте разберемся, как это осуществить. Предположим, что входное сопротивление источника тока составляет R (в единицах сопротивления, например, Ом). Чтобы достичь максимальной мощности на данном соединении, мы должны создать параллельное соединение резисторов с таким сопротивлением.

Если сопротивление каждого резистора в параллельном соединении равно R, то общее сопротивление соединения будет определяться формулой:

\[\frac{1}{R_{\text{общ}}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \dots + \frac{1}{R}\]

где количество сопротивлений равно количеству используемых резисторов.

Для удобства обозначим число резисторов через N, тогда формула может быть переписана следующим образом:

\[\frac{1}{R_{\text{общ}}} = \frac{N}{R}\]

Чтобы найти общее сопротивление соединения, возьмем обратную величину от обеих сторон уравнения:

\[R_{\text{общ}} = \frac{R}{N}\]

Теперь мы можем найти максимальную мощность выделения на данном соединении. Общая мощность выражается через следующую формулу:

\[P_{\text{общ}} = \frac{U^2}{R_{\text{общ}}}\]

где U - напряжение источника тока.

Теперь введем величину КПД (кПД) источника тока (\(\eta\)), которая определяется как отношение полезной мощности к полной мощности. Полная мощность включает как полезную мощность, так и потери мощности в источнике тока:

\(\eta = \frac{P_{\text{полезн}}}{P_{\text{полная}}}\)

В данной задаче у нас дано, что КПД источника тока равен 20%, что означает:

\(\eta = 0.2\)

Полностью полная мощность может быть выражена через полезную мощность:

\(P_{\text{полная}} = \frac{P_{\text{полезн}}}{\eta}\)

Мы знаем, что полезная мощность \(P_{\text{полезн}}\) равна мощности выделения \(P_{\text{общ}}\) на данном соединении. Теперь у нас есть все необходимые формулы, чтобы решить задачу.

Чтобы определить количество резисторов (N), мы можем использовать формулу для общего сопротивления соединения и данное нам значение КПД источника тока:

\[\frac{R}{N} = \frac{U^2}{P_{\text{общ}}}\]
\[N = \frac{R \cdot P_{\text{общ}}}{U^2}\]

Теперь, заменив значение КПД (\(\eta\)) в формуле для полной мощности (\(P_{\text{полная}}\)), мы можем найти полезную мощность:

\(P_{\text{полезн}} = \eta \cdot P_{\text{полная}}\)

А также подставить значение \(P_{\text{общ}}\), полученное ранее:

\(P_{\text{полезн}} = \eta \cdot \frac{U^2}{\frac{R}{N}}\)

Теперь, когда у нас есть полезная мощность, мы можем найти количество резисторов (N) и найденное значение подставить в формулу для общего сопротивления соединения:

\[R_{\text{общ}} = \frac{R}{N}\]

Для достижения максимальной мощности на данном соединении, необходимо использовать N резисторов сопротивлением \(R_{\text{общ}}\), полученным из решения формулы \(R_{\text{общ}} = \frac{R}{N}\). Резисторы следует соединить параллельно, так как сумма обратных сопротивлений в параллельном соединении дают обратное сопротивление соединения. Это позволит достичь максимальной мощности выделения на данном соединении при заданном сопротивлении источника тока и его КПД.