Сколько рыцарей могут жить в квадратном домике 3×3, где в каждой из 9 маленьких квадратных комнат живет рыцарь
Сколько рыцарей могут жить в квадратном домике 3×3, где в каждой из 9 маленьких квадратных комнат живет рыцарь или лжец, таких, что каждый из них заявил: "Среди моих соседей по граням больше лжецов, чем рыцарей"? Если возможных значений несколько, запишите сумму в качестве ответа.
Жанна 4
Чтобы решить эту задачу, мы можем рассмотреть все возможные расположения рыцарей и лжецов внутри квадратного домика 3×3. Для удобства обозначим рыцарей буквой "Р" и лжецов - буквой "Л".Давайте начнем с установки рыцарей в крайние угловые комнаты (углы). Существует два возможных расположения:
Вариант 1:
\[
\begin{matrix}
Р & & Л \\
& & Л \\
Л & & Р \\
\end{matrix}
\]
Вариант 2:
\[
\begin{matrix}
Л & & Л \\
& & Р \\
Л & & Р \\
\end{matrix}
\]
Теперь рассмотрим возможные расположения рыцарей в центральных комнатах (внутри). Существует два возможных расположения:
Вариант 1:
\[
\begin{matrix}
Л & Р & \\
& Р & Л \\
& Л & Р \\
\end{matrix}
\]
Вариант 2:
\[
\begin{matrix}
Л & Р & \\
& Л & Р \\
& Р & Л \\
\end{matrix}
\]
Вариант 3:
\[
\begin{matrix}
Л & Л & \\
Р & Р & Л \\
& Л & Р \\
\end{matrix}
\]
Вариант 4:
\[
\begin{matrix}
Л & Л & \\
Р & Л & Р \\
& Р & Л \\
\end{matrix}
\]
Вариант 5:
\[
\begin{matrix}
Л & Л & \\
Л & Р & Р \\
& Р & Л \\
\end{matrix}
\]
Теперь мы рассмотрим возможные расположения рыцарей в центральной комнате (центр). Существует только один возможный вариант:
\[
\begin{matrix}
Л & Л & \\
Л & Р & Л \\
& Л & Л \\
\end{matrix}
\]
В итоге, мы рассмотрели все возможные варианты расположения рыцарей в домике 3×3, удовлетворяющих условиям задачи. Суммируя количество рыцарей в каждом варианте, получим:
Вариант 1: 3 рыцаря
Вариант 2: 2 рыцаря
Вариант 3: 2 рыцаря
Вариант 4: 2 рыцаря
Вариант 5: 2 рыцаря
Вариант 6: 1 рыцарь
Суммируя все возможные значения, получим:
\[ 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 12 \]
Таким образом, в квадратном домике 3×3 могут жить 12 рыцарей.