Сколько способов можно сформировать футбольную команду, где будет 3 нападающих, 3 полузащитника, 4 защитника

Zagadochnyy_Kot

14

Чтобы определить количество способов сформировать футбольную команду из указанных условий, нам необходимо применить комбинаторику. Давайте рассмотрим каждую позицию по отдельности.

Для нападающих нам требуется выбрать 3 игрока из имеющихся 6. Используем формулу сочетания:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}},\]

где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем. В данном случае \(n = 6\) и \(k = 3\):

\[C(6, 3) = \frac{{6!}}{{3! \cdot (6-3)!}} = \frac{{6!}}{{3! \cdot 3!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 20.\]

Таким образом, существует 20 способов выбрать 3 нападающих.

Для полузащитников нам нужно выбрать 3 игрока из имеющихся 3. Так как доступное количество полузащитников совпадает с требуемым числом, то у нас не возникает вопроса о выборе. Есть только один способ сформировать команду из 3 полузащитников.

Для защитников мы выбираем 4 игрока из имеющихся 6:

\[C(6, 4) = \frac{{6!}}{{4! \cdot (6-4)!}} = \frac{{6!}}{{4! \cdot 2!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{6 \cdot 5}}{{2 \cdot 1}} = 15.\]

Таким образом, имеется 15 способов сформировать команду из 4 защитников.

На вратарскую позицию нам требуется выбрать 1 игрока из имеющегося 1. Тут возможен только один вариант.

Учитывая все требования к позициям, мы можем определить общее количество способов сформировать команду, перемножив количество способов выбора каждой позиции:

\[20 \cdot 1 \cdot 15 \cdot 1 = 300.\]

Таким образом, существует 300 способов сформировать футбольную команду из данных игроков.