Сколько свободных рук останется у детей в этой группе после того, как они построятся парами и каждый ребенок возьмет

Yak

13

Давайте решим эту задачу пошагово, чтобы все было понятно.

Представим, что в группе у нас есть \(N\) детей. Чтобы построиться парами, каждый ребенок должен взять за руку одного из оставшихся детей. Для начала, первый ребенок не имеет соседа слева, поэтому он может взять за руку только одного соседа - детей справа, спереди или сзади. Как только первый ребенок найдет соседа и возьмет его за руку, количество свободных рук в группе уменьшится на 2, так как удерживается двух детей.

Затем, когда первый ребенок взял за руку своего соседа, они образуют пару и мы можем их рассматривать как единое целое. Таким образом, количество детей в группе уменьшилось на 2 и стало равным \(N - 2\). Теперь остается \(N - 2\) детей и мы можем применить эту же логику.

Второй ребенок теперь будет первым в новой группе и также будет иметь только одного соседа, которого он мог бы взять за руку. Как только второй ребенок возьмет за руку своего соседа, количество свободных рук опять уменьшится на 2. Теперь у нас остается \(N - 4\) детей.

Продолжая этот процесс, мы можем заметить, что каждый раз количество детей в группе уменьшается на 2. Таким образом, мы можем выразить количество свободных рук через формулу: \((N - 1) + (N - 3) + (N - 5) + \dots + 1\).

Найдем сумму этого ряда. Можно заметить, что это является арифметической прогрессией с первым членом 1, разностью -2 и последним членом \((N - 1)\).

Сумма арифметической прогрессии может быть найдена по формуле: \(\frac{{\text{{количество членов}}}}{2} \times (\text{{первый член}} + \text{{последний член}})\).

Применив эту формулу, мы получим: \(\frac{{N - 1 + 1}}{2} \times (\frac{{1 + (N - 1)}}{2}) = \frac{{N \times N}}{4}\).

Таким образом, количество свободных рук будет равно \(\frac{{N \times N}}{4}\).

Надеюсь, это решение понятно и поможет вам решить задачу! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.