Сколько вариантов салатов можно приготовить на конкурсе поваров, если участники должны выбрать 4 продукта

Anzhela

43

Чтобы решить эту задачу, сначала нужно определить общее количество вариантов, а затем вычесть количество вариантов, в которых все салаты будут одинаковыми.

Для начала найдем общее количество вариантов, которые можно составить, выбрав 4 продукта из 10. Для этого воспользуемся формулой комбинаторики "четыре из десяти", обозначаемой как \(\binom{10}{4}\). Используя формулу, получим:

\[\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\]

Таким образом, общее число вариантов приготовления салатов из 10 продуктов будет равно 210.

Однако, в этой задаче участникам необходимо обеспечить хотя бы одно отличие между салатами. Давайте рассмотрим случай, когда все 4 продукта одинаковы. Есть только один способ выбрать 4 одинаковых продукта из 10. Он будет выглядеть так:

(А, А, А, А)

Теперь найдем число вариантов, при которых все 4 продукта одинаковы, и вычтем это значение из общего числа вариантов, чтобы получить итоговый ответ.
Таким образом, число вариантов салатов, приготовленных с использованием хотя бы одного отличия, будет равно:

\(210 - 1 = 209\)

Ответ: На конкурсе поваров можно приготовить 209 различных вариантов салатов, выбирая 4 продукта из 10 и обеспечивая хотя бы одно отличие между салатами.