Сколько вариантов существует при которых в выбранную группу из 5 человек попадут: а) только девушки; б) 1 юноша

Artur

24

Добро пожаловать! Рассмотрим каждую часть задачи по отдельности.

а) Для определения количества вариантов, когда в выбранную группу из 5 человек попадут только девушки, нам необходимо знать, сколько девушек у нас в общей группе. Допустим, в общей группе из 10 человек 6 девушек. Тогда для составления группы из 5 девушек мы можем выбрать их следующим образом:

\[
C(6, 5) = \frac{{6!}}{{5! \cdot (6-5)!}} = \frac{{6!}}{{5! \cdot 1!}} = \frac{{6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 1}} = 6
\]

То есть, есть 6 вариантов составить группу из 5 девушек, если в общей группе всего 6 девушек.

б) Для определения количества вариантов, когда в выбранную группу из 5 человек попадает 1 юноша и 4 девушки, нам необходимо знать, сколько юношей и девушек у нас в общей группе. Допустим, в общей группе из 10 человек 6 девушек и 4 юноши. Тогда для составления группы из 1 юноши и 4 девушек мы можем выбрать их следующим образом:

\[
C(4, 1) \cdot C(6, 4) = \frac{{4!}}{{1! \cdot (4-1)!}} \cdot \frac{{6!}}{{4! \cdot (6-4)!}} = 4 \cdot \frac{{6 \cdot 5!}}{{4! \cdot 2!}} = 4 \cdot 15 = 60
\]

То есть, есть 60 вариантов составить группу из 1 юноши и 4 девушек, если в общей группе 4 юноши и 6 девушек.

в) Для определения количества вариантов, когда в выбранную группу из 5 человек попадает 3 юноши и 2 девушки, нам необходимо знать, сколько юношей и девушек у нас в общей группе. Допустим, в общей группе из 10 человек 6 девушек и 4 юноши. Тогда для составления группы из 3 юношей и 2 девушек мы можем выбрать их следующим образом:

\[
C(4, 3) \cdot C(6, 2) = \frac{{4!}}{{3! \cdot (4-3)!}} \cdot \frac{{6!}}{{2! \cdot (6-2)!}} = 4 \cdot \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{3! \cdot 1}} = 4 \cdot 6 \cdot 5 = 120
\]

То есть, есть 120 вариантов составить группу из 3 юношей и 2 девушек, если в общей группе 4 юноши и 6 девушек.

г) Для определения количества вариантов, когда в выбранную группу из 5 человек попадают все 5 юношей, нам необходимо знать, сколько юношей у нас в общей группе. Допустим, в общей группе из 10 человек 5 юношей. Тогда для составления группы из 5 юношей мы можем выбрать их следующим образом:

\[
C(5, 5) = \frac{{5!}}{{5! \cdot (5-5)!}} = \frac{{5!}}{{5! \cdot 0!}} = 1
\]

То есть, есть 1 единственный вариант составить группу из 5 юношей, если в общей группе 5 юношей.

Вот и все решения для задачи. Если у вас есть еще вопросы, обращайтесь!