Сколько вариантов существует сформировать команду из 10 учеников, выбрав по 5 учеников из 9-А и 9-Б классов?

Ольга

57

Чтобы решить данную задачу, мы можем применить комбинаторный подход. У нас есть два класса - 9-А и 9-Б, из которых мы должны выбрать по 5 учеников для формирования команды из 10 человек. Количество вариантов можно найти с помощью формулы для сочетаний.

Формула для сочетаний выглядит следующим образом:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

Теперь, применяя данную формулу:

Сначала рассмотрим выбор 5 учеников из класса 9-А. В классе 9-А имеется 9 учеников, а мы должны выбрать 5. Таким образом, у нас есть \(C(9, 5)\) вариантов выбора 5 учеников из 9-А.

Затем рассмотрим выбор 5 учеников из класса 9-Б. В классе 9-Б также имеется 9 учеников, из которых мы должны выбрать 5. Таким образом, у нас есть \(C(9, 5)\) вариантов выбора 5 учеников из 9-Б.

Поскольку выбор из класса 9-А и выбор из класса 9-Б являются независимыми событиями, мы можем применить правило перемножения для определения общего количества вариантов. Итак, общее количество вариантов будет равно:
\[\text{{Общее количество вариантов}} = C(9, 5) \times C(9, 5)\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[\text{{Общее количество вариантов}} = \frac{{9!}}{{5! \cdot (9-5)!}} \times \frac{{9!}}{{5! \cdot (9-5)!}}\]

Упрощая это выражение, получим:
\[\text{{Общее количество вариантов}} = \frac{{9!}}{{5! \cdot 4!}} \times \frac{{9!}}{{5! \cdot 4!}}\]

Раскрывая факториалы, получим:
\[\text{{Общее количество вариантов}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \times \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Сокращая выражение, получаем:
\[\text{{Общее количество вариантов}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \times \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[\text{{Общее количество вариантов}} = 126 \times 126 = 15876\]

Таким образом, существует 15 876 вариантов сформировать команду из 10 учеников, выбрав по 5 учеников из классов 9-А и 9-Б.