Какова вероятность того, что стрелок попадет хотя бы один раз из трех выстрелов, если вероятность попадания в каждом

Тарантул

16

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться комбинаторикой и вероятностью.

Для того, чтобы стрелок попал хотя бы один раз из трех выстрелов, мы можем рассмотреть два случая: либо стрелок попадает во всех трех выстрелах, либо стрелок попадает в одном или двух выстрелах и промахивается в остальных.

Для начала посчитаем вероятность того, что стрелок не попадет ни разу из трех выстрелов. Вероятность промаха в каждом выстреле составляет \(0,483\) (так как вероятность попадания составляет \(0,517\)). Поскольку стрелки стреляют независимо друг от друга, вероятность промаха в каждом выстреле можно умножить между собой:

\[P_{\text{не попадание}} = 0,483 \times 0,483 \times 0,483 = 0,109\]

Теперь рассмотрим случай, когда стрелок попадает хотя бы один раз. Это означает, что стрелок попадает в одном выстреле, и промахивается в двух оставшихся, или попадает в двух выстрелах, и промахивается в одном оставшемся, или же стрелок попадает во всех трех выстрелах.

Для подсчета вероятности каждого из этих трех случаев мы можем воспользоваться комбинаторикой, а именно формулой для вычисления числа сочетаний. Число сочетаний из \(n\) по \(k\) обозначается \(C_n^k\) и определяется следующим образом:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n!\) - факториал числа \(n\), \(k!\) - факториал числа \(k\), \((n-k)!\) - факториал числа \(n-k\).

Перейдем к рассмотрению первого случая: стрелок попадает в одном выстреле и промахивается в двух оставшихся. Вероятность попадания в одном выстреле составляет \(0,517\), а вероятность промаха - \(0,483\). Поскольку стрелки стреляют независимо, для получения общей вероятности этого случая, мы можем умножить вероятность попадания в одном выстреле на вероятность промаха в оставшихся выстрелах и учесть, что мы можем выбрать любой из трех выстрелов для попадания:

\[P_{\text{попадание в одном выстреле}} = 3 \times 0,517 \times 0,483 \times 0,483 = 0,746\]

Теперь рассмотрим второй случай: стрелок попадает в двух выстрелах и промахивается в одном оставшемся. Аналогично первому случаю, вероятность попадания в двух выстрелах составляет \(0,517\), а вероятность промаха - \(0,483\). Также, мы можем выбрать два из трех выстрелов для попадания:

\[P_{\text{попадание в двух выстрелах}} = 3 \times (0,517)^2 \times 0,483 = 0,461\]

Остался последний третий случай: стрелок попадает во всех трех выстрелах. Вероятность попадания в каждом выстреле равна \(0,517\), поэтому:

\[P_{\text{попадание во всех трех выстрелах}} = (0,517)^3 = 0,137\]

Теперь, чтобы найти общую вероятность того, что стрелок попадет хотя бы один раз, мы можем сложить вероятности всех трех случаев:

\[P_{\text{итоговая}} = P_{\text{попадание в одном выстреле}} + P_{\text{попадание в двух выстрелах}} + P_{\text{попадание во всех трех выстрелах}} = 0,746 + 0,461 + 0,137 = 1,344\]

Однако, вероятность не может быть больше 1. Получается, что в данном случае вероятность попадания хотя бы один раз из трех выстрелов превышает 1. Возможно, была совершена ошибка в расчетах или в задании. Пожалуйста, проверьте задачу и уточните условие, если возможно.