Сколько возможных комбинаций результатов эксперимента с броском игрального кубика 4 раза, где хотя бы один

Эмилия

33

Хорошо, давайте рассмотрим данную задачу подробнее для того, чтобы вы поняли решение.

Когда мы бросаем игральный кубик, у нас есть 6 возможных результатов: числа от 1 до 6. Рассмотрим следующие возможные случаи:

1. Все 4 броска дают нам числа, отличные от 1.
2. Ровно 1 бросок дает нам цифру 1, а остальные 3 броска дают нам числа отличные от 1.
3. Ровно 2 броска дают нам цифру 1, а остальные 2 броска дают нам числа отличные от 1.
4. Ровно 3 броска дают нам цифру 1, а оставшийся последний бросок дает нам число, отличное от 1.
5. Все 4 броска дают нам цифру 1.

Давайте посчитаем количество возможных комбинаций для каждого из этих случаев.

1. Все 4 броска дают нам числа, отличные от 1. Поскольку у нас есть 5 возможных чисел (2, 3, 4, 5, 6), каждый бросок может принять одно из этих 5 значений. Так как у нас 4 броска, общее количество комбинаций будет равно \(5^4\).

2. Ровно 1 бросок дает нам цифру 1, а остальные 3 броска дают нам числа отличные от 1.
Если первый бросок дает нам 1, то остальные 3 броска должны принять одно из 5 возможных чисел (2, 3, 4, 5, 6). Таким образом, количество комбинаций для этого случая будет равно \(1 \times 5^3\). Но так как цифра 1 может появиться на любом из 4 бросков, нужно умножить это значение на 4: \(4 \times 1 \times 5^3\).

3. Ровно 2 броска дают нам цифру 1, а остальные 2 броска дают нам числа отличные от 1.
Теперь у нас есть два 1-ки и два числа отличные от 1. Мы можем выбрать, в каких бросках мы получим 1-ки, а в каких - числа отличные от 1. Это можно сделать \(C(4, 2) = 6\) комбинаций. В каждом из этих случаев, броски с 1-ками могут принимать значения 1, а остальные броски значения от 2 до 6. Таким образом, количество комбинаций для этого случая будет равно \(6 \times 1^2 \times 5^2\).

4. Ровно 3 броска дают нам цифру 1, а оставшийся последний бросок дает нам число, отличное от 1.
Аналогично предыдущему случаю, у нас есть 3 1-ки и одно число отличное от 1. Мы можем выбрать один из бросков, который будет отличным от 1, а остальные 3 будут 1-ками. Это можно сделать \(C(4, 1) = 4\) комбинациями. В каждом из этих случаев бросок, отличный от 1, может принимать значения от 2 до 6, а 1-ки броски значения 1. Таким образом, количество комбинаций для этого случая будет равно \(4 \times 1^3 \times 5^1\).

5. Все 4 броска дают нам цифру 1. Здесь у нас есть только одна комбинация, в которой все броски дают нам 1. Таким образом, количество комбинаций для этого случая будет равно 1.

Теперь, чтобы получить общее количество возможных комбинаций, мы просто суммируем результаты каждого из этих случаев:

\[5^4 + 4 \times 1 \times 5^3 + 6 \times 1^2 \times 5^2 + 4 \times 1^3 \times 5^1 + 1 = 625 + 500 + 150 + 20 + 1 = 1296\]

Таким образом, общее число возможных комбинаций результатов эксперимента с броском игрального кубика 4 раза, где хотя бы один раз встречается цифра, составляет 1296.