Сколько времени потребуется каждому из отделочников, чтобы выполнить работу в одиночку, если первому потребуется

Voda

59

Давайте решим задачу пошагово.

Пусть время, которое требуется первому отделочнику, чтобы выполнить работу в одиночку, будет обозначено как \(x\) часов. Тогда время, которое требуется второму отделочнику, будет равно \(x - 3\) часам (так как первому отделочнику нужно на 3 часа больше времени).

Работая вместе, они могут выложить пол плиткой за 6 часов 40 минут, что составляет \(\frac{6}{1} + \frac{40}{60} = \frac{18}{3} + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}\) часов.

Теперь мы можем составить уравнение на основе совместной работы:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x-3} = \frac{1}{\frac{20}{3}}\]

Чтобы решить это уравнение, умножим все его части на \(x(x-3) \cdot \frac{20}{3}\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[3(x-3) \cdot \frac{20}{3} + 20x \cdot \frac{20}{3} = x(x-3)\]

Сокращая общие множители и упрощая выражение, получаем:

\[20(x-3) + 400x = x(x-3)\]

Раскроем скобки:

\[20x - 60 + 400x = x^2 - 3x\]

Приведем подобные слагаемые и переместим все в левую часть уравнения:

\[x^2 - 423x + 60 = 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью факторизации, метода дополнения квадрата или формулы квадратного корня.

Используя формулу квадратного корня \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), получаем два значения:

\[x_1 = \frac{423 + \sqrt{423^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2} \approx 422.82\]
\[x_2 = \frac{423 - \sqrt{423^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2} \approx 0.14\]

Один из полученных корней является некорректным, так как не может быть отрицательного времени. Следовательно, решением задачи будет значение \(x \approx 422.82\) часа.

Таким образом, первому отделочнику потребуется примерно 422.82 часа, чтобы выполнить работу в одиночку.