Сколько времени только для вырытия котлована потребуется каждому экскаватору, если второй экскаватор быстрее

Iskryaschayasya_Feya

8

Для решения этой задачи мы можем использовать метод соотношений. Давайте обозначим скорость работы первого экскаватора как $x$ и скорость работы второго экскаватора как $x+6$ (поскольку второй экскаватор быстрее на 6 часов).

Из условия задачи мы знаем, что оба экскаватора вместе могут вырыть 1/4 котлована за 1 час. То есть, их совместная скорость работы составляет 1/4 котлована в час.

Мы можем записать уравнение на основе соотношения работы и времени:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}$

Чтобы решить это уравнение, нам нужно сделать его левую часть в единичной дроби. Умножим оба члена уравнения на $4x(x+6)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$4(x+6)+4x=x(x+6)$$

Далее раскроем скобки и упростим уравнение:

$$4x+24+4x=x^2+6x$$
$$8x+24=x^2+6x$$
$$0=x^2-2x-24$$

Теперь нам нужно решить полученное квадратное уравнение. Мы можем его факторизовать или использовать квадратное уравнение. Решим уравнение, применив квадратную формулу:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

В нашем случае, $a=1$, $b=-2$ и $c=-24$:

$$x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-24)}}{2\cdot 1}$$
$$x=\frac{2\pm \sqrt{4+96}}{2}$$
$$x=\frac{2\pm \sqrt{100}}{2}$$
$$x=\frac{2\pm 10}{2}$$

Таким образом, у нас есть два возможных значения: $x_1=\frac{2+10}{2}$ и $x_2=\frac{2-10}{2}$. Решая эти уравнения, получаем:

$$x_1=6$$
$$x_2=-4$$

Нам интересует положительное значение, поэтому скорость работы первого экскаватора равна 6 котлованов в час. Скорость работы второго экскаватора будет $6+6=12$ котлованов в час.

Теперь мы можем вычислить время, которое каждому экскаватору потребуется для вырытия котлована. Мы знаем, что первый экскаватор вырывает котлован за 6 часов, а второй экскаватор вырывает его за 12 часов.