Сколько времени только для вырытия котлована потребуется каждому экскаватору, если второй экскаватор быстрее

Iskryaschayasya_Feya

8

Для решения этой задачи мы можем использовать метод соотношений. Давайте обозначим скорость работы первого экскаватора как \(x\) и скорость работы второго экскаватора как \(x + 6\) (поскольку второй экскаватор быстрее на 6 часов).

Из условия задачи мы знаем, что оба экскаватора вместе могут вырыть 1/4 котлована за 1 час. То есть, их совместная скорость работы составляет 1/4 котлована в час.

Мы можем записать уравнение на основе соотношения работы и времени:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}\)

Чтобы решить это уравнение, нам нужно сделать его левую часть в единичной дроби. Умножим оба члена уравнения на \(4x(x + 6)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[4(x + 6) + 4x = x(x + 6)\]

Далее раскроем скобки и упростим уравнение:

\[4x + 24 + 4x = x^2 + 6x\]
\[8x + 24 = x^2 + 6x\]
\[0 = x^2 - 2x - 24\]

Теперь нам нужно решить полученное квадратное уравнение. Мы можем его факторизовать или использовать квадратное уравнение. Решим уравнение, применив квадратную формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -2\) и \(c = -24\):

\[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}\]
\[x = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2}\]
\[x = \frac{2 \pm 10}{2}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения: \(x_1 = \frac{2 + 10}{2}\) и \(x_2 = \frac{2 - 10}{2}\). Решая эти уравнения, получаем:

\[x_1 = 6\]
\[x_2 = -4\]

Нам интересует положительное значение, поэтому скорость работы первого экскаватора равна 6 котлованов в час. Скорость работы второго экскаватора будет \(6 + 6 = 12\) котлованов в час.

Теперь мы можем вычислить время, которое каждому экскаватору потребуется для вырытия котлована. Мы знаем, что первый экскаватор вырывает котлован за 6 часов, а второй экскаватор вырывает его за 12 часов.