Напишите уравнение геометрического места центров окружностей, у которых радиус равен 13 и которые отсекают

Muha

41

Хорошо, давайте решим задачу о геометрическом месте центров окружностей, которые отсекают на оси ординат хорду определенной длины.

Пусть центр окружности находится в точке \((h, k)\) и радиус равен 13.

Рассмотрим точки пересечения окружности с осью ординат. По свойствам окружности, расстояние \(d\) от центра окружности до оси ординат можно выразить как:

\[d = |k|\]

Также, по данной задаче, хорда, отсеченная на оси ординат, должна иметь фиксированную длину. Обозначим эту длину как \(2a\), чтобы учесть оба отрезка.

Рассмотрим точку \(P\) на окружности, которая является точкой пересечения дуги окружности и хорды длины \(2a\). Из свойств равнобедренной трапеции можно сказать, что радиус проведенный к точке \(P\) является биссектрисой угла между осью ординат и отрезком, соединяющим центр окружности и точку пересечения дуги и хорды.

Теперь применим Теорему Пифагора для треугольника, образованного радиусом, высотой и отрезком, соединяющим центр окружности и точку пересечения дуги и хорды:

\[(d-a)^2 + a^2 = 13^2\]

Упростим это уравнение:

\[d^2 - 2da + a^2 + a^2 = 169\]
\[2a^2 - 2da + (d^2 - 169) = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(a\), используя квадратное уравнение:

\[a = \frac{{2d \pm \sqrt{{4d^2 - 4 \cdot 2 \cdot (d^2 - 169)}}}}{{4}}\]
\[a = \frac{{2d \pm \sqrt{{4d^2 - 8d^2 + 8 \cdot 169}}}}{{4}}\]
\[a = \frac{{2d \pm \sqrt{{-4d^2 + 676}}}}{{4}}\]
\[a = \frac{{d \pm \sqrt{{169 - d^2}}}}{{2}}\]

Таким образом, получаем два значения \(a\):

\[a_1 = \frac{{d + \sqrt{{169 - d^2}}}}{{2}}\]
\[a_2 = \frac{{d - \sqrt{{169 - d^2}}}}{{2}}\]

Это уравнение геометрического места центров окружностей, у которых радиус равен 13 и которые отсекают на оси ординат хорду длины \(2a\). Каждому значению \(a\) соответствует пара значений \((h, k)\), где \(h\) - координата по оси абсцисс, а \(k\) - координата по оси ординат центра окружности.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.