Сколько всего плиток покрывает пол квадратной комнаты, если они расположены на 2 диагоналях и их количество составляет

Semen_6379

51

Давайте начнем с рисунка, чтобы визуализировать постановку задачи. Представим, что у нас есть квадратная комната с плитками, расположенными на двух диагоналях. Пусть каждая диагональ содержит по \(n\) плиток.

\[
\begin{{array}}{{ccccccc}}
& & & & \fbox{1} & & & \\
& & & \fbox{2} & & \fbox{3} & & \\
& & \fbox{4} & & \fbox{5} & & \fbox{6} & \\
& \fbox{7} & & \fbox{8} & & \fbox{9} & & \fbox{10} \\
\fbox{11} & & \fbox{12} & & \fbox{13} & & \fbox{14} & \\
& \fbox{15} & & \fbox{16} & & \fbox{17} & & \fbox{18} \\
& & \fbox{19} & & \fbox{20} & & \fbox{21} & \\
& & & \fbox{22} & & \fbox{23} & & \\
& & & & \fbox{24} & & & \\
\end{{array}}
\]

Мы можем заметить, что количество плиток на диагонали возрастает на 1 по мере приближения к центру комнаты. Теперь давайте выясним, сколько всего плиток на диагоналях.

На первой диагонали, начиная с верхнего левого угла, у нас есть плитки 1, 4, 9, 16 и т.д. – корни квадратов. Обозначим сумму плиток на первой диагонали как \(S_1\):

\[
S_1 = 1 + 4 + 9 + 16 + \ldots
\]

Теперь рассмотрим вторую диагональ, начиная с верхнего правого угла. На этой диагонали у нас есть плитки 2, 7, 14, 23 и так далее. Примем сумму плиток на второй диагонали как \(S_2\):

\[
S_2 = 2 + 7 + 14 + 23 + \ldots
\]

Мы замечаем, что каждый элемент второй диагонали получается путем добавления 1 к соответствующему элементу первой диагонали. То есть, например, 2 получается из 1, добавлением к нему 1.

Плитки на первой диагонали представляют собой сумму квадратов натуральных чисел. Можно доказать, что сумма квадратов натуральных чисел равна \(\frac{{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}}{6}\). Здесь \(n\) - количество плиток на диагонали, и мы используем эту формулу, чтобы выразить сумму плиток на первой диагонали:

\[
S_1 = \frac{{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}}{6}
\]

Теперь, учитывая, что плитки второй диагонали получаются из плиток первой диагонали прибавлением 1, мы можем записать сумму плиток на второй диагонали следующим образом:

\[
S_2 = S_1 + n
\]

Мы можем установить соотношение между \(S_1\) и \(S_2\) и решить его. Подставим выражение для \(S_1\):

\[
S_2 = \frac{{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}}{6} + n
\]

Теперь можем привести выражение к общему знаменателю:

\[
S_2 = \frac{{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) + 6n}}{6}
\]

Теперь упростим числитель:

\[
S_2 = \frac{{2n^3 + 9n^2 + 13n}}{6}
\]

Теперь у нас есть выражение для суммы плиток на второй диагонали. Запишем его в более компактной форме:

\[
S_2 = \frac{{n \cdot (2n^2 + 9n + 13)}}{6}
\]

Таким образом, общее количество плиток на обеих диагоналях комнаты составляет \(2S_2\):

\[
2S_2 = 2 \cdot \frac{{n \cdot (2n^2 + 9n + 13)}}{6}
\]

Упростим это выражение и получим ответ:

\[
2S_2 = \frac{{n \cdot (2n^2 + 9n + 13)}}{3}
\]

Таким образом, общее количество плиток, покрывающих пол квадратной комнаты, находится по формуле \(\frac{{n \cdot (2n^2 + 9n + 13)}}{3}\), где \(n\) - количество плиток на каждой диагонали.