Сколько всего стеклянных декоративных шариков имеется, если раскладывая их по 6 штук в пакетики, останется 5 лишних

Сумасшедший_Рейнджер

31

Давайте решим данную задачу. Пусть общее количество стеклянных декоративных шариков составляет \(x\).

Первое условие говорит нам, что при раскладывании шариков по 6 штук в пакетики, у нас остаются 5 лишних шаров. Математически это можно записать следующим образом: \(x \equiv 5 \pmod 6\).

Второе условие утверждает, что при раскладывании шариков по 5 штук в пакетики, остается 4 лишних шарика. Это можно записать как \(x \equiv 4 \pmod 5\).

Третье условие указывает на то, что при раскладывании по 4 шарика в пакетик, остается 3 шарика. В математической записи это будет выглядеть как \(x \equiv 3 \pmod 4\).

Мы хотим найти такое общее количество шариков \(x\), которое удовлетворяет всем этим условиям. Для этого мы можем использовать систему сравнений.

Объединим все сравнения в систему:

\[
\begin{align*}
x & \equiv 5 \pmod 6 \\
x & \equiv 4 \pmod 5 \\
x & \equiv 3 \pmod 4 \\
\end{align*}
\]

Теперь давайте найдем решение этой системы.

Для начала, найдем решение первых двух сравнений: \(x \equiv 5 \pmod 6\) и \(x \equiv 4 \pmod 5\).

Чтобы решить это сравнение, мы можем представить \(x\) в виде \(x = 6a + 5\) (из первого сравнения) и подставить его во второе сравнение:

\(6a + 5 \equiv 4 \pmod 5\).

Теперь мы можем упростить это сравнение, вычтя 5 из обеих сторон и получим:

\(6a \equiv -1 \pmod 5\).

Мы видим, что \(-1\) и \(5\) эквивалентны по модулю 5, поэтому мы можем заменить \(-1\) на 5:

\(6a \equiv 5 \pmod 5\).

Теперь мы упрощаем это сравнение, деля обе стороны на 5:

\(a \equiv 1 \pmod 5\).

Таким образом, мы нашли, что \(a\) эквивалентно 1 по модулю 5.

Теперь найдем \(x\) в виде \(x = 6a + 5\) и подставим \(a = 1\):

\(x = 6 \cdot 1 + 5 = 11\).

Таким образом, у нас есть одно из решений системы: \(x = 11\).

Однако по условию сказано, что общее количество шариков меньше 11. Чтобы найти другие решения, мы можем добавить к \(x\) значение, которое будет кратно 4, 5 и 6, чтобы соответствовать оставшимся условиям.

Мы знаем, что 11 удовлетворяет первым двум условиям, поэтому добавим к нему значение, которое было кратно 4, 5 и 6. Минимальным таким числом будет 60.

Таким образом, общее количество стеклянных декоративных шариков составляет 11 + 60 = 71.

Ответ: Всего имеется 71 стеклянный декоративный шарик.