Сконструировать график функции и определить ее диапазон и множество значений для у=(х+1)4/3-5

Tainstvennyy_Leprekon

61

Для начала давайте сконструируем график функции \(y = (x + 1)^{4/3} - 5\).

Шаг 1: Находим точку пересечения с осью ординат.
Чтобы найти точку пересечения с осью ординат, приравняем значение \(x\) к нулю и найдем \(y\).
Подставим \(x = 0\) в уравнение:
\[y = (0 + 1)^{4/3} - 5\]
\[y = 1^{4/3} - 5\]
\[y = 1 - 5\]
\[y = -4\]

Таким образом, точка пересечения с осью ординат будет равна \( (0, -4)\).

Шаг 2: Найти асимптоты.
Найдем горизонтальную и вертикальную асимптоты для данной функции.

Горизонтальная асимптота:
Так как степень \(x\) в функции равна 1, то график будет иметь горизонтальную асимптоту.
Чтобы найти горизонтальную асимптоту, рассмотрим предел функции при \(x\) стремящемся к бесконечности.
\[\lim_{{x \to \infty}} (x + 1)^{4/3} - 5\]
Когда \(x\) стремится к бесконечности, \((x + 1)^{4/3}\) также будет стремиться к бесконечности.
Таким образом, график не имеет горизонтальной асимптоты.

Вертикальная асимптота:
Так как в функции нет деления на \(x\), то график не будет иметь вертикальных асимптот.

Шаг 3: Находим точку поворота.
Чтобы найти точку поворота, приравняем производную функции к нулю и найдем координаты \(x\) и \(y\).

Найдем производную:
\[y = (x + 1)^{4/3} - 5\]
\[y" = \frac{4}{3}(x + 1)^{-2/3}\]

Приравняем производную к нулю и найдем \(x\):
\[0 = \frac{4}{3}(x + 1)^{-2/3}\]
\[(x + 1)^{-2/3} = 0\]

Так как значение функции не может быть равно нулю, то в данном случае точки поворота не существует.

Шаг 4: Построение графика.
Теперь, используя полученную информацию, построим график функции \(y = (x + 1)^{4/3} - 5\).

На оси абсцисс отложим значения \(x\), а на оси ординат – значения \(y\). Мы уже знаем одну точку графика – точку пересечения с осью ординат, которая равна (0, -4).

Построив график функции, получим следующую кривую:

(INSERT GRAPH HERE)

Шаг 5: Определение диапазона и множества значений.

Диапазон – это множество всех значений \(y\), которые функция может принимать.

Для данной функции \(y = (x + 1)^{4/3} - 5\) диапазон будет множеством всех реальных чисел.

Множество значений – это множество всех \(x\) для которых функция определена.

Для данной функции \(y = (x + 1)^{4/3} - 5\), множество значений будет множеством всех действительных чисел.

Таким образом, диапазон и множество значений функции \(y = (x + 1)^{4/3} - 5\) являются множеством всех действительных чисел.