Согласно утверждению производителя, процент брака не превышает 3%. В случайной выборке из 100 изделий было обнаружено

Утконос_798

31

Чтобы определить, соответствует ли количество бракованных изделий в случайной выборке утверждению производителя о том, что процент брака не превышает 3%, мы можем использовать тестирование гипотезы.

Первым шагом я предложу сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы. У нас есть следующие утверждения:

H0 (нулевая гипотеза): процент брака не превышает 3% (p <= 0.03)
H1 (альтернативная гипотеза): процент брака превышает 3% (p > 0.03)

Далее, мы можем использовать нормальное приближение биномиального распределения для расчёта доверительного интервала или p-значения.

Если мы используем нормальное приближение, то мы можем рассчитать стандартную ошибку (standard error) по формуле:
\[ SE = \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} \]
где p - предполагаемый процент брака, а n - размер выборки.

В нашем случае, размер выборки n равен 100, количество бракованных изделий k равно 5. Мы можем рассчитать стандартную ошибку:
\[ SE = \sqrt{\frac{0.03 \cdot (1-0.03)}{100}} \approx 0.0171 \]

Затем, мы можем рассчитать z-статистику:
\[ z = \frac{k - np}{\sqrt{np(1-p)}} \]
где k - количество бракованных изделий, n - размер выборки, а p - предполагаемый процент брака.

В нашем случае, k = 5, n = 100, p = 0.03. Мы можем рассчитать z-статистику:
\[ z = \frac{5 - 100 \cdot 0.03}{\sqrt{100 \cdot 0.03 \cdot (1-0.03)}} \approx -1.881 \]

Зная z-статистику, мы можем рассчитать p-значение, которое представляет вероятность получить результат также или более экстремальный при условии истинности нулевой гипотезы:
\[ p\text{-значение} = P(Z \leq z) \]
где Z - стандартное нормальное распределение.

Из таблицы стандартного нормального распределения мы можем найти, что P(Z ≤ -1.881) ≈ 0.0303.

Таким образом, p-значение равно 0.0303.

Наконец, мы можем провести статистический вывод. Для заданной доверительной вероятности (уровня значимости), например, 0.05, если p-значение меньше уровня значимости, то мы отвергаем нулевую гипотезу. В нашем случае, 0.0303 < 0.05, значит, мы отвергаем нулевую гипотезу.

Таким образом, на основе проведённого тестирования гипотезы мы можем сказать, что количество бракованных изделий в данной случайной выборке несоответствует утверждению производителя о том, что процент брака не превышает 3%. Это может свидетельствовать о необходимости проведения более подробной проверки качества производства или о других факторах, влияющих на количество бракованных изделий.