Сократите дробь, не используя деление, и выразите ее в виде обыкновенной дроби

Zolotaya_Zavesa_2287

31

Для сокращения дроби без использования деления и выражения ее в виде обыкновенной дроби, мы будем использовать метод выделения общих множителей.

Пусть у нас есть дробь \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) - целые числа без общих множителей, то есть не имеющие общих делителей кроме 1. Наша задача - найти общие множители \(c\) и \(d\), такие что \(a = c \cdot d\) и \(b = c \cdot e\), где \(c\) - наибольший общий множитель чисел \(a\) и \(b\).

Для начала, давайте разложим числа \(a\) и \(b\) на простые множители. Запишем \(a\) в виде произведения простых множителей:

\[a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n\]

Аналогично, запишем \(b\) в виде произведения простых множителей:

\[b = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot \ldots \cdot q_m\]

Теперь найдем общие простые множители исходных чисел \(a\) и \(b\). Если есть общий простой множитель \(p_i = q_j\), то удалим его из обоих чисел \(a\) и \(b\).

Повторяем этот процесс до тех пор, пока не останутся только простые множители, которые не являются общими для чисел \(a\) и \(b\). Тогда их произведение даст нам число \(c\) - наибольший общий множитель \(a\) и \(b\).

Распишем это пошагово на примере:

Пусть у нас есть дробь \(\frac{12}{18}\).

Первым шагом разложим числа 12 и 18 на простые множители:

12 = 2 * 2 * 3
18 = 2 * 3 * 3

Теперь найдем общие простые множители и удалим их из чисел:

12 = 2 * 2 * 3
18 = 2 * 3 * 3

Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие простые множители 2 и 3. Удалим их из чисел:

12 = 2 * 2 * 3
18 = 2 * 3 * 3

Оставшиеся числа 2 и 3 не являются общими множителями, поэтому их произведение будет наибольшим общим множителем \(c = 2 \cdot 3 = 6\).

Теперь, чтобы сократить исходную дробь, мы делим числитель \(a\) и знаменатель \(b\) на \(c\):

\(\frac{12}{18} = \frac{\frac{12}{6}}{\frac{18}{6}} = \frac{2}{3}\)

Таким образом, дробь \(\frac{12}{18}\) сокращается до обыкновенной дроби \(\frac{2}{3}\).