СОР 2. Какие три слагаемых будут первыми в разложении в биномиальные степени а, и какой будет коэффициент при
СОР 2. Какие три слагаемых будут первыми в разложении в биномиальные степени а, и какой будет коэффициент при а? 1) Возведенное в шестую степень выражение (2-a) 2) Возведенное в шестую степень выражение (3+2a)
Semen 56
Для разложения в биномиальные степени мы используем бином Ньютона, который имеет следующий вид:\[(a + b)^n = C(n, 0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n, 1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C(n, 2) \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C(n, n-1) \cdot a^1 \cdot b^{n-1} + C(n, n) \cdot a^0 \cdot b^n\]
Где \(C(n, k)\) обозначает биномиальный коэффициент, определенный как:
\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Теперь давайте разложим заданные выражения по формуле и найдем первые три слагаемых и соответствующие коэффициенты.
1) Возведенное в шестую степень выражение \((2-a)\):
\[a = 2, b = -a, n = 6\]
\[(2-a)^6 = C(6, 0) \cdot 2^6 \cdot (-a)^0 + C(6, 1) \cdot 2^5 \cdot (-a)^1 + C(6, 2) \cdot 2^4 \cdot (-a)^2 + \ldots\]
Вычислим биномиальные коэффициенты:
\[C(6, 0) = \frac{6!}{0!(6-0)!} = \frac{6!}{0! \cdot 6!} = 1\]
\[C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = 6\]
\[C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = 15\]
Теперь подставим значения в формулу:
\[(2-a)^6 = 1 \cdot 2^6 \cdot (-a)^0 + 6 \cdot 2^5 \cdot (-a)^1 + 15 \cdot 2^4 \cdot (-a)^2 + \ldots\]
Симплифицируем выражение:
\[64 - 192a + 192a^2 + \ldots\]
Первые три слагаемых в разложении будут:
1. 64
2. -192a
3. 192a^2
Таким образом, первые три слагаемых будут \(64\), \(-192a\) и \(192a^2\). Коэффициент при \(a\) в разложении равен \(-192\).
2) Возведенное в шестую степень выражение \((3+2a)\):
\[a = 3, b = 2a, n = 6\]
\[(3+2a)^6 = C(6, 0) \cdot 3^6 \cdot (2a)^0 + C(6, 1) \cdot 3^5 \cdot (2a)^1 + C(6, 2) \cdot 3^4 \cdot (2a)^2 + \ldots\]
Вычислим биномиальные коэффициенты:
\[C(6, 0) = \frac{6!}{0!(6-0)!} = \frac{6!}{0! \cdot 6!} = 1\]
\[C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = 6\]
\[C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = 15\]
Теперь подставим значения в формулу:
\[(3+2a)^6 = 1 \cdot 3^6 \cdot (2a)^0 + 6 \cdot 3^5 \cdot (2a)^1 + 15 \cdot 3^4 \cdot (2a)^2 + \ldots\]
Симплифицируем выражение:
\[729 + 3888a + 5400a^2 + \ldots\]
Первые три слагаемых в разложении будут:
1. 729
2. 3888a
3. 5400a^2
Таким образом, первые три слагаемых будут \(729\), \(3888a\) и \(5400a^2\). Коэффициент при \(a\) в разложении равен \(3888\).