СОР 2. Какие три слагаемых будут первыми в разложении в биномиальные степени а, и какой будет коэффициент при

Semen

56

Для разложения в биномиальные степени мы используем бином Ньютона, который имеет следующий вид:

$$(a+b{)}^n=C(n,0)\cdot a^n\cdot b^0+C(n,1)\cdot a^{n-1}\cdot b^1+C(n,2)\cdot a^{n-2}\cdot b^2+\dots +C(n,n-1)\cdot a^1\cdot b^{n-1}+C(n,n)\cdot a^0\cdot b^n$$

Где $C(n,k)$ обозначает биномиальный коэффициент, определенный как:

$$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Теперь давайте разложим заданные выражения по формуле и найдем первые три слагаемых и соответствующие коэффициенты.

1) Возведенное в шестую степень выражение $(2-a)$:

$$a=2,b=-a,n=6$$

$$(2-a{)}^6=C(6,0)\cdot 2^6\cdot (-a{)}^0+C(6,1)\cdot 2^5\cdot (-a{)}^1+C(6,2)\cdot 2^4\cdot (-a{)}^2+\dots$$

Вычислим биномиальные коэффициенты:

$$C(6,0)=\frac{6!}{0!(6-0)!}=\frac{6!}{0!\cdot 6!}=1$$

$$C(6,1)=\frac{6!}{1!(6-1)!}=\frac{6!}{1!\cdot 5!}=6$$

$$C(6,2)=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6!}{2!\cdot 4!}=15$$

Теперь подставим значения в формулу:

$$(2-a{)}^6=1\cdot 2^6\cdot (-a{)}^0+6\cdot 2^5\cdot (-a{)}^1+15\cdot 2^4\cdot (-a{)}^2+\dots$$

Симплифицируем выражение:

$$64-192a+192a^2+\dots$$

Первые три слагаемых в разложении будут:

1. 64
2. -192a
3. 192a^2

Таким образом, первые три слагаемых будут $64$, $-192a$ и $192a^2$. Коэффициент при $a$ в разложении равен $-192$.

2) Возведенное в шестую степень выражение $(3+2a)$:

$$a=3,b=2a,n=6$$

$$(3+2a{)}^6=C(6,0)\cdot 3^6\cdot (2a{)}^0+C(6,1)\cdot 3^5\cdot (2a{)}^1+C(6,2)\cdot 3^4\cdot (2a{)}^2+\dots$$

Вычислим биномиальные коэффициенты:

$$C(6,0)=\frac{6!}{0!(6-0)!}=\frac{6!}{0!\cdot 6!}=1$$

$$C(6,1)=\frac{6!}{1!(6-1)!}=\frac{6!}{1!\cdot 5!}=6$$

$$C(6,2)=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6!}{2!\cdot 4!}=15$$

Теперь подставим значения в формулу:

$$(3+2a{)}^6=1\cdot 3^6\cdot (2a{)}^0+6\cdot 3^5\cdot (2a{)}^1+15\cdot 3^4\cdot (2a{)}^2+\dots$$

Симплифицируем выражение:

$$729+3888a+5400a^2+\dots$$

Первые три слагаемых в разложении будут:

1. 729
2. 3888a
3. 5400a^2

Таким образом, первые три слагаемых будут $729$, $3888a$ и $5400a^2$. Коэффициент при $a$ в разложении равен $3888$.