Создайте функцию, которая является непрерывной на отрезке [-2; 4] и имеет график, состоящий из сегмента параболы

Babochka

58

Хорошо, для решения задачи создания функции, которая является непрерывной на отрезке \([-2; 4]\) и имеет график состоящий из сегмента параболы и отрезка прямой, нам понадобится комбинировать уравнения параболы и прямой.

1. Сначала построим отрезок прямой, проходящий через точки \((-2, 0)\) и \((4, 0)\). Уравнение прямой в общем виде выглядит так:

\[y = kx + b\]

где \(k\) - коэффициент наклона прямой, а \(b\) - точка пересечения с осью ординат. Заметим, что для этого отрезка прямой, наклон равен нулю (\(k = 0\)), так как прямая горизонтальна. Точка пересечения с осью ординат равна нулю (\(b = 0\)). Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть просто как \(y = 0\).

2. Теперь построим сегмент параболы. Рассмотрим уравнение параболы вида:

\[y = ax^2 + bx + c\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты, которые мы должны выбрать, чтобы парабола проходила через определенные точки и имела свойство быть непрерывной.

Учитывая, что парабола должна быть непрерывной на отрезке \([-2; 4]\), мы можем выбрать точку через которую она будет проходить на этом отрезке, например \((0, 0)\). Подставляя эти значения в уравнение параболы, получаем:

\[0 = a(0)^2 + b(0) + c\]
\[c = 0\]

Таким образом, уравнение параболы упрощается до:

\[y = ax^2 + bx\]

3. Теперь определим коэффициенты \(a\) и \(b\), чтобы парабола и отрезок прямой соединялись гладко в точке пересечения.

Для этого рассмотрим условия на точке пересечения, где прямая и парабола должны иметь одинаковые значения по оси \(x\). В точке пересечения \(x = 0\), значит, в этой точке значения функции должны быть равны. Подставив это в уравнения параболы и прямой, получаем:

\[0 = a(0)^2 + b(0)\]
\[0 = 0\]

Также ограничим значения параболы снизу и сверху, чтобы гладко переходила в прямую на границах отрезка. Для этого обратимся к пределам функции:

\(\lim_{{x \to -2^-}} (ax^2 + bx) = -2\)
\(\lim_{{x \to 4^+}} (ax^2 + bx) = 0\)

Обратите внимание, что \(-2^-\) означает, что \(x\) приближается к \(-2\) снизу, а \(4^+\) означает, что \(x\) приближается к \(4\) справа. Подставив и упростив эти пределы, получаем следующую систему уравнений:

\[\begin{cases} 4a - 2b = -2 \\ 16a + 4b = 0 \end{cases}\]

Решая эту систему уравнений, находим \(a = \frac{1}{8}\) и \(b = -\frac{1}{4}\).

Теперь мы можем записать окончательное уравнение функции, удовлетворяющее всем условиям:

\[y = \frac{1}{8} x^2 - \frac{1}{4} x\]

Это заданная функция, непрерывная на отрезке \([-2; 4]\) и состоящая из сегмента параболы и отрезка прямой.