Сравни дроби, если известно, что d и k — натуральные числа и d меньше

Andreevich

44

Хорошо, отличное начало! Давайте рассмотрим задачу о сравнении двух дробей, где d и k — натуральные числа, и d меньше k. Для удобства, давайте обозначим эти дроби как $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

Чтобы сравнить эти дроби, мы можем использовать несколько различных методов, таких как сравнение числителей или знаменателей или приведение дробей к общему знаменателю для наглядного сравнения.

Один из способов сравнить эти дроби состоит в том, чтобы сравнить их числители $a$ и $c$ при условии, что знаменатели $b$ и $d$ равны. Если $a<c$, то мы можем заключить, что первая дробь $\frac{a}{b}$ меньше второй дроби $\frac{c}{d}$. Если $a=c$, то дроби равны. И, наконец, если $a>c$, то первая дробь больше второй.

Теперь, если мы хотим сравнить дроби, имея разные знаменатели $b$ и $d$, нам нужно привести дроби к общему знаменателю.

Для этого, давайте найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел $b$ и $d$. НОК - это наименьшее число, которое делится на оба числа без остатка. Мы можем найти НОК, используя следующую формулу:

$$lcm(b,d)=\frac{|b\cdot d|}{gcd(b,d)}$$

где $gcd(b,d)$ обозначает наибольший общий делитель для чисел $b$ и $d$. Для упрощения вычислений мы можем использовать алгоритм Эйлера для нахождения НОК.

Теперь, когда у нас есть общий знаменатель $lcm(b,d)$, мы можем сравнить числители. Если $a\cdot (lcm(b,d)//b)<c\cdot (lcm(b,d)//d)$, то первая дробь $\frac{a}{b}$ меньше второй дроби $\frac{c}{d}$. Если $a\cdot (lcm(b,d)//b)=c\cdot (lcm(b,d)//d)$, то дроби равны. И, наконец, если $a\cdot (lcm(b,d)//b)>c\cdot (lcm(b,d)//d)$, то первая дробь больше второй.

Давайте приведем пример для лучшего понимания. Пусть $a=3$, $b=4$, $c=2$, $d=5$.

Сначала сравниваем числители: $a<c$, значит $\frac{3}{4}<\frac{2}{5}$.

Затем найдем НОК для знаменателей $4$ и $5$:
$$lcm(4,5)=\frac{|4\cdot 5|}{gcd(4,5)}=\frac{20}{1}=20$$

Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot (lcm(4,5)//4)}{4\cdot (lcm(4,5)//4)}=\frac{15}{20}$
$\frac{2}{5}=\frac{2\cdot (lcm(4,5)//5)}{5\cdot (lcm(4,5)//5)}=\frac{8}{20}$

Сравниваем числители: $15>8$, значит $\frac{3}{4}>\frac{2}{5}$.

Итак, в нашем примере $\frac{3}{4}$ больше, чем $\frac{2}{5}$.

Данный подход дает нам возможность сравнивать дроби при любых условиях и получать правильные ответы. Это и есть подробное решение задачи на сравнение дробей, которое может быть понятно школьникам.