Существует граница для данной последовательности аn = 106n – 3n2. Определите, какая граница является верной и укажите

Сузи

18

Для решения этой задачи мы можем использовать аналитический подход. Для данной последовательности \( a_n = 106n - 3n^2 \) мы можем выразить общий член последовательности \( a_n \) в явном виде.

Прежде всего, давайте найдем некоторые первые члены последовательности, чтобы увидеть ее закономерность:

\( a_1 = 106 \cdot 1 - 3 \cdot 1^2 = 103 \)
\( a_2 = 106 \cdot 2 - 3 \cdot 2^2 = 196 \)
\( a_3 = 106 \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 = 285 \)

Мы видим, что последовательность начинается с члена \( a_1 = 103 \) и увеличивается с каждым последующим членом. Теперь давайте выразим \( a_n \) в явном виде:

\( a_n = 106n - 3n^2 \)
\( a_n = -3n^2 + 106n \)

Теперь у нас есть явное выражение для общего члена последовательности. Для определения границы мы можем исследовать поведение последовательности с ростом значения \( n \).

Чтобы найти границу снизу, мы можем взять предел последовательности при \( n \to \infty \) и проверить, существует ли ограничивающее значение. В данном случае, поскольку коэффициент при квадрате \( n \) отрицательный (\( -3 \)), мы ожидаем, что значение последовательности будет уменьшаться при увеличении \( n \). Таким образом, граница снизу должна быть наименьшим значением последовательности.

Учитывая явное выражение для \( a_n \), мы можем взять предел последовательности при \( n \to \infty \):

\[ \lim_{{n \to \infty}} (-3n^2 + 106n) \]

Подсчитав этот предел, мы получим границу снизу.

Чтобы найти границу сверху, мы можем рассмотреть предел последовательности при \( n \to -\infty \) и проверить, существует ли ограничивающее значение. В данном случае, поскольку коэффициент при квадрате \( n \) отрицательный (\( -3 \)), мы ожидаем, что значение последовательности будет уменьшаться при увеличении \( n \). Таким образом, граница сверху должна быть наибольшим значением последовательности.

Учитывая явное выражение для \( a_n \), мы можем взять предел последовательности при \( n \to -\infty \):

\[ \lim_{{n \to -\infty}} (-3n^2 + 106n) \]

Подсчитав этот предел, мы получим границу сверху.

Теперь вернемся к данным задачи. У нас есть следующие значения:

Граница снизу установлена и наименьший член последовательности равен -936.
Граница сверху установлена и наибольший член последовательности равен 732.

Эти значения являются граничными значениями последовательности. Давайте проверим, совпадают ли они с нашими найденными границами. Если найденные значения совпадают с данными, то они будут являться верными границами для последовательности.

Подставим в \( a_n = -3n^2 + 106n \) значения из условия и сравним полученные значения с данными:

1. Граница снизу:
\[ a_1 = -3 \cdot 1^2 + 106 \cdot 1 = 103 \text{ (совпадает с данными)} \]

2. Граница сверху:
\[ a_{-1} = -3 \cdot (-1)^2 + 106 \cdot (-1) = 109 \text{ (не совпадает с данными)} \]

Мы видим, что найденная граница снизу совпадает с данными, а граница сверху не совпадает. Таким образом, истинной границей для данной последовательности является:

Граница снизу установлена и наименьший член последовательности равен -936.

Указанная в задаче граница сверху не является верной.

Помните, что когда решаете задачи, вам нужно всегда тщательно проверять результаты, чтобы не сделать ошибку.