ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 9. Какова вероятность того, что среди трех случайно выбранных рабочих для отделочных работ будет

Murlyka

32

Задача 9.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом комбинаторики.

Итак, у нас имеется бригада рабочих, в которой 4 женщины и 7 мужчин. Нам нужно определить вероятность того, что среди трех случайно выбранных рабочих для отделочных работ будет по крайней мере один мужчина.

Для начала рассмотрим все возможные комбинации при выборе трех рабочих из бригады. Мы можем выбрать 3 рабочих из 11, используя сочетания. Общее число сочетаний определяется формулой:

\[{C}^{n}_{k} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}},\]

где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов, которое мы выбираем.

В нашем случае, мы хотим выбрать 3 из 11 рабочих, поэтому \({C}^{11}_{3}\) равно:

\[{C}^{11}_{3} = \frac{{11!}}{{3!(11-3)!}} = \frac{{11!}}{{3!8!}} = \frac{{11\times10\times9}}{{3\times2\times1}} = 165.\]

Теперь рассмотрим комбинации, где нет ни одного мужчины. У нас есть 4 женщины в бригаде, поэтому можем выбрать 3 женщинных рабочих из них, используя опять же сочетания. Таким образом, число комбинаций без мужчин будет \({C}^{4}_{3} = 4.\)

Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что среди выбранных трех рабочих будут только женщины.

\[\text{{Вероятность}}(\text{{только женщины}}) = \frac{{\text{{количество комбинаций с выбором только женщин}}}}{{\text{{общее количество комбинаций}}}} = \frac{{4}}{{165}}.\]

Однако нам нужно найти вероятность того, что будет по крайней мере один мужчина. Чтобы найти эту вероятность, мы можем вычесть вероятность того, что будут только женщины из 1:

\[\text{{Вероятность}}(\text{{по крайней мере один мужчина}}) = 1 - \text{{Вероятность}}(\text{{только женщины}}).\]

Заменив значения в формуле, получаем:

\[\text{{Вероятность}}(\text{{по крайней мере один мужчина}}) = 1 - \frac{{4}}{{165}} = \frac{{161}}{{165}}.\]

Таким образом, вероятность того, что среди трех случайно выбранных рабочих для отделочных работ будет по крайней мере один мужчина, равна \(\frac{{161}}{{165}}\).

Задача 10.

Мы выбираем одну карту наугад из колоды. В колоде имеется 52 карты, которые делятся на 4 масти по 13 карт в каждой масти.

Нам нужно определить вероятность того, что выбранная карта будет либо королем треф, либо дамой красной масти.

В колоде имеется только 1 король треф (так как королей каждой масти всего 4) и 2 красные дамы (например, дамы червей и дамы бубей).

Таким образом, общее количество карт, удовлетворяющих условию, будет равно 1 + 2 = 3.

Общее количество карт в колоде равно 52.

Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что выбранная карта будет либо королем треф, либо дамой красной масти.

\[\text{{Вероятность}} = \frac{{\text{{количество карт, удовлетворяющих условию}}}}{{\text{{общее количество карт в колоде}}}} = \frac{{3}}{{52}}.\]

Таким образом, вероятность того, что выбранная карта будет либо королем треф, либо дамой красной масти, равна \(\frac{{3}}{{52}}\).