Трансформируйте следующее квадратное неравенство, предоставленное мной: x²-3x-10< Верните мне только

Valentina

31

Необходимо преобразовать данное квадратное неравенство: \(x^2 - 3x - 10 < 0\).

Для начала, мы можем решить данное неравенство, используя метод дискриминанта, чтобы найти корни уравнения \(x^2 - 3x - 10 = 0\). Формула для вычисления дискриминанта выглядит следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае, коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = -10\). Подставляем значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)\]
\[D = 9 + 40\]
\[D = 49\]

Теперь, основываясь на значении дискриминанта, мы можем сделать выводы о количестве и характере корней этого квадратного уравнения и соответственно о решении неравенства.

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных вещественных корня.
Если \(D = 0\), то уравнение имеет один вещественный корень.
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней.

В нашем случае, \(D = 49\), что означает, что уравнение имеет два различных вещественных корня. Теперь, чтобы определить знак неравенства, нам нужно узнать, в каком интервале находятся эти корни.

Чтобы найти корни уравнения \(x^2 - 3x - 10 = 0\), мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляем значения коэффициентов:

\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{3 \pm 7}{2}\]

Таким образом, имеем два корня: \(x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5\) и \(x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2\).

Теперь мы можем построить таблицу знаков на основе полученных корней:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& x < -2 & -2 < x < 5 & x > 5 \\
\hline
x^2 - 3x - 10 < 0 & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы знаков видно, что неравенство \(x^2 - 3x - 10 < 0\) выполняется для значений \(x\) в интервале \(-2 < x < 5\) ("меньше" нуля). Таким образом, переформулированный текст вопроса будет звучать следующим образом:

"Какие значения \(x\) удовлетворяют неравенству \(x^2 - 3x - 10 < 0\)?"