Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы вариант теста

Черепашка_Ниндзя

6

Конечно! Давайте решим задачу по применению производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.

Задача: Найти все точки монотонности и экстремумы функции \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x\).

Шаг 1: Вычислим производную функции \(f"(x)\).
Для этого мы возьмем каждый член функции по отдельности и возьмем производную.

\[f"(x) = \frac{d}{dx} (2x^3) - \frac{d}{dx} (3x^2) - \frac{d}{dx} (12x)\]

Для производной \(2x^3\) мы можем использовать правило степенной функции, которое гласит, что производная функции \(ax^n\) равна \(anx^{n-1}\).

Применим это правило и получим:

\[f"(x) = 6x^2 - 6x - 12\]

Шаг 2: Найдем все точки, где производная равна нулю. Эти точки представляют собой места, где функция может иметь экстремумы (максимумы или минимумы) или точки разрыва.

Для этого мы приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[6x^2 - 6x - 12 = 0\]

Шаг 3: Решим уравнение. Мы можем воспользоваться факторизацией или применить квадратное уравнение.

Давайте попробуем факторизацию:

\[6(x^2 - x - 2) = 0\]

Факторизуем дальше:

\[6(x - 2)(x + 1) = 0\]

Таким образом, у нас две точки, где производная равна нулю: \(x = 2\) и \(x = -1\).

Шаг 4: Проверим интервалы между этими точками на монотонность.

Выберем тестовые точки в каждом интервале и подставим их в производную, чтобы определить знак производной на этом интервале.

Возьмем три точки: \(-2\), \(0\) и \(3\). Подставим каждую из них в производную:
- Для \(x = -2\): \(f"(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 12 + 12 - 12 = 12 > 0\)
- Для \(x = 0\): \(f"(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0\)
- Для \(x = 3\): \(f"(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 > 0\)

Шаг 5: Визуализируем результаты. Можно создать таблицу с интервалами и знаком производной на каждом интервале:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{Знак производной} \\
\hline
(-\infty, -1) & + \\
\hline
(-1, 2) & - \\
\hline
(2, +\infty) & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из этой таблицы видно, что функция \(f(x)\) монотонно возрастает на интервале \((-1, 2)\) и монотонно убывает на интервалах \((-\infty, -1)\) и \((2, +\infty)\).

Шаг 6: Найдем экстремумы функции. Для этого мы исследуем, где производная меняет свой знак.

Из таблицы видно, что функция \(f(x)\) имеет локальный минимум на интервале \((-1, 2)\) и локальный максимум на интервалах \((-\infty, -1)\) и \((2, +\infty)\).

Таким образом, мы нашли все точки монотонности и экстремумы функции \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x\).

Надеюсь, эта подробная и пошаговая информация помогла вам понять, как применить производную для исследования функций на монотонность и экстремумы. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!