Требуется: Переформулировать выражение для действующего значения тока i3 = i1 - i2. i1(t) = 3 sin (ωt + 20°) А; i2(t

Koko

46

Для решения данной задачи нужно следовать нескольким шагам:

Шаг 1: Подставить выражения для i1(t) и i2(t) в формулу i3 = i1 - i2.

Так как выражения для i1(t) и i2(t) даны в форме синусовой функции, воспользуемся тригонометрической формулой для разности синусов:
\[\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\]

Подставим значения в формулу:
i3 = 3 \sin(\omega t + 20^\circ) - 4 \sin(\omega t - 40^\circ)

Шаг 2: Применим тригонометрическую формулу из шага 1 и упростим выражение.

i3 = 3 (\sin\omega t \cos 20^\circ + \cos\omega t \sin 20^\circ) - 4 (\sin\omega t \cos 40^\circ - \cos\omega t \sin 40^\circ)

Раскроем скобки:
i3 = 3\sin\omega t \cos 20^\circ + 3\cos\omega t \sin 20^\circ - 4\sin\omega t \cos 40^\circ + 4\cos\omega t \sin 40^\circ

Шаг 3: Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить синусы и косинусы.

i3 = \sin\omega t (3\cos 20^\circ - 4\cos 40^\circ) + \cos\omega t (3\sin 20^\circ + 4\sin 40^\circ)

Шаг 4: Вычислим значения косинусов и синусов.

Таблица значений:
\(\cos 20^\circ = 0.9397\),
\(\cos 40^\circ = 0.7660\),
\(\sin 20^\circ = 0.3420\),
\(\sin 40^\circ = 0.6428\)

Подставим значения в формулу:
i3 = \sin\omega t (3 \cdot 0.9397 - 4 \cdot 0.7660) + \cos\omega t (3 \cdot 0.3420 + 4 \cdot 0.6428)

Выполнив несложные вычисления, получим:
i3 = \sin\omega t (2.8191) + \cos\omega t (3.6344)

Шаг 5: Найдем действующее значение тока i3.

Действующее значение тока можно найти путем возведения его в квадрат, интегрирования по времени и взятия квадратного корня.
Учитывая, что \(\omega t\) – это угловая скорость, можно применить формулу Эйлера для перехода от функций синуса и косинуса к комплексным экспонентам.

i3(t) = \sin\omega t (2.8191) + \cos\omega t (3.6344)
= 2.8191 \cdot \text{Im}(\exp(i\omega t)) + 3.6344 \cdot \text{Re}(\exp(i\omega t))
= \text{Im}(2.8191\exp(i\omega t)) + \text{Re}(3.6344\exp(i\omega t))

Теперь воспользуемся формулой Эйлера для перехода от комплексной экспоненты к синусу и косинусу:
i3(t) = \text{Im}(2.8191\exp(i\omega t)) + \text{Re}(3.6344\exp(i\omega t))
= \text{Im}(2.8191(\cos(\omega t) + i\sin(\omega t))) + \text{Re}(3.6344(\cos(\omega t) + i\sin(\omega t)))
= \text{Im}(2.8191\cos(\omega t) + i2.8191\sin(\omega t)) + \text{Re}(3.6344\cos(\omega t) + i3.6344\sin(\omega t))

Теперь выделим действительную и мнимую части:
i3(t) = \text{Im}(2.8191\cos(\omega t)) + \text{Im}(i2.8191\sin(\omega t)) + \text{Re}(3.6344\cos(\omega t)) + \text{Re}(i3.6344\sin(\omega t))
= \text{Im}(2.8191\cos(\omega t)) + \text{Re}(2.8191\sin(\omega t)) + \text{Re}(3.6344\cos(\omega t)) + \text{Im}(3.6344\sin(\omega t))

Найдем действующее значение:
i3_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i3(t)^2 dt}

где T – период, равный \(\frac{2\pi}{\omega}\)

i3_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} (\text{Im}(2.8191\cos(\omega t)) + \text{Re}(2.8191\sin(\omega t)) + \text{Re}(3.6344\cos(\omega t)) + \text{Im}(3.6344\sin(\omega t)))^2 dt}

i3_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} (2.8191\sin(\omega t))^2 dt + \frac{1}{T}\int_{0}^{T} (2.8191\cos(\omega t))^2 dt + \frac{1}{T}\int_{0}^{T} (3.6344\cos(\omega t))^2 dt + \frac{1}{T}\int_{0}^{T} (3.6344\sin(\omega t))^2 dt}

i3_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}(2.8191^2\int_{0}^{T} \sin^2(\omega t) dt + 2.8191^2\int_{0}^{T} \cos^2(\omega t) dt + 3.6344^2\int_{0}^{T} \cos^2(\omega t) dt + 3.6344^2\int_{0}^{T} \sin^2(\omega t) dt)}

Мы можем заметить, что интегралы \int_{0}^{T} \sin^2(\omega t) dt и \int_{0}^{T} \cos^2(\omega t) dt оба равны \frac{T}{2}, поскольку они представляют собой положительные полуволны синуса и косинуса, соответственно.
Переходим к дальнейшим вычислениям:
i3_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}(2.8191^2 \cdot \frac{T}{2} + 2.8191^2 \cdot \frac{T}{2} + 3.6344^2 \cdot \frac{T}{2} + 3.6344^2 \cdot \frac{T}{2})}

Сокращаем:
i3_{\text{rms}} = \sqrt{2.8191^2 + 3.6344^2}

Теперь можем просто вычислить:
i3_{\text{rms}} \approx \sqrt{7.9616 + 13.272 + 18.4362}
i3_{\text{rms}} \approx \sqrt{39.6698}
i3_{\text{rms}} \approx 6.2906

Итак, действующее значение тока i3 составляет примерно 6.2906 ампера.