Требуется подробное описание: Воздух объемом 3 м3 расширяется по политропной кривой от начальных параметров р = 0,54

Natalya_7443

17

Данная задача связана с расширением газа по политропной кривой. Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать уравнение состояния идеального газа и выражение для работы газа.

Первым шагом я предлагаю найти показатель политропы, который обозначается буквой \(n\).

Уравнение состояния идеального газа для политропного процесса имеет следующий вид:

\[pV^n = const\]

Где:
\(p\) - давление газа,
\(V\) - объем газа.

Для нашей задачи, начальные параметры газа заданы: \(p_1 = 0.54\) МПа, \(t_1 = 45\) °C и \(V_1 = 3\) м³.
Конечное давление \(p_2 = 0.15\) МПа, а объем при этом \(V_2 = 10\) м³.

Чтобы найти показатель политропы, мы можем использовать выражение:

\[n = \frac{\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}{\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}\]

Подставляя значения в формулу, получим:

\[n = \frac{\ln\left(\frac{0.15}{0.54}\right)}{\ln\left(\frac{3}{10}\right)}\]

Округляя до двух знаков после запятой, получаем:

\[n \approx 1.132\]

Теперь перейдем к определению конечной температуры \(T_2\).

Для политропного процесса можно использовать выражение:

\[\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{n-1}\]

Где:
\(T_1\) - начальная температура газа.

Мы воспользуемся уравнением состояния идеального газа \(pV = nRT\), чтобы определить температуру \(T_1\) в кельвинах:

\[T_1 = t_1 + 273.15\]

Подставляем значения в формулу:

\[\frac{T_2}{45+273.15} = \left(\frac{3}{10}\right)^{1.132 - 1}\]

Выразим \(T_2\):

\[T_2 = \left(\frac{3}{10}\right)^{0.132} \cdot 318.15\]

Округляя до двух знаков после запятой, получаем:

\[T_2 \approx 189.47 \, К\]

Теперь определим работу газа \(A\) в процессе расширения. Для политропного процесса работу можно вычислить по формуле:

\[W = \frac{p_2V_2 - p_1V_1}{1-n}\]

Подставляем значения в формулу:

\[W = \frac{(0.15 \cdot 10) - (0.54 \cdot 3)}{1 - 1.132}\]

Округляя до двух знаков после запятой, получаем:

\[W \approx 6.03 \, МДж\]

Наконец, чтобы найти затраченную работу \(Q\), воспользуемся первым началом термодинамики: \(Q = W + \Delta U\), где \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии газа.

Для идеального газа энергия может быть выражена через температуру: \(U = \frac{n}{n-1} \cdot RT\). Таким образом, изменение внутренней энергии \(\Delta U\) будет равно \(\frac{n}{n-1} \cdot R \cdot \Delta T\).

Таким образом,

\[Q = W + \frac{n}{n-1} \cdot R \cdot \Delta T\]

где \(\Delta T = T_2 - T_1\).

Подставляем значения в формулу:

\[Q = 6.03 + \frac{1.132}{1.132-1} \cdot 8.314 \cdot (189.47-45)\]

Округляя до двух знаков после запятой, получаем:

\[Q \approx 3.31 \, МДж\]

Итак, ответ на задачу:

Показатель политропы \(n \approx 1.132\);

Конечная температура \(T_2 \approx 189.47 \, К\);

Работа газа в процессе расширения \(W \approx 6.03 \, МДж\);

Затраченная работа \(Q \approx 3.31 \, МДж\).