Треугольник с прямым углом имеет гипотенузу в 32 см и угол при противолежащем катете 30°. Выразите высоту треугольника

Кристина

58

Давайте решим данную задачу. Мы имеем треугольник с прямым углом и гипотенузой длиной 32 см. У нас также есть информация о угле при противолежащем катете, который составляет 30°. Нам нужно выразить высоту треугольника, проведенную из его вершины к гипотенузе, в виде двух отрезков.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать тригонометрию. Возьмем \( h_1 \) и \( h_2 \) в качестве двух отрезков, представляющих высоту треугольника, проведенную из вершины к гипотенузе. Мы хотим найти длины этих отрезков.

Первым шагом нам понадобится найти длину катета, противолежащего данному углу. Мы можем использовать тригонометрический косинус для этого:

\[ \cos(30°) = \frac{{\text{{катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ \cos(30°) = \frac{{\text{{катет}}}}{{32 \, \text{{см}}}} \]

Решим это уравнение относительно катета:

\[ \text{{катет}} = 32 \, \text{{см}} \cdot \cos(30°) \]

Вычисляя правую часть, мы получаем:

\[ \text{{катет}} \approx 27.71 \, \text{{см}} \]

Теперь у нас есть длина катета, противолежащего углу 30°. Давайте найдем длины отрезков \( h_1 \) и \( h_2 \).

Так как треугольник прямоугольный, то отрезок \( h_1 \) будет соединять вершину треугольника с основанием, проходящим через середину гипотенузы. Отрезок \( h_2 \) будет соединять вершину треугольника с точкой пересечения гипотенузы и отрезка \( h_1 \).

Чтобы найти \( h_1 \) и \( h_2 \), мы можем использовать тригонометрический тангенс. Зная длину катета, противолежащего углу 30°, мы можем найти \( h_1 \):

\[ \tan(30°) = \frac{{h_1}}{{\text{{катет}}}} \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ \tan(30°) = \frac{{h_1}}{{27.71 \, \text{{см}}}} \]

Решим это уравнение относительно \( h_1 \):

\[ h_1 = 27.71 \, \text{{см}} \cdot \tan(30°) \]

Вычисляя правую часть, мы получаем:

\[ h_1 \approx 15.98 \, \text{{см}} \]

Теперь нам осталось найти \( h_2 \). Мы можем использовать те же тригонометрические отношения:

\[ \tan(60°) = \frac{{h_2}}{{\text{{катет}}}} \]

Подставляя значения, получаем:

\[ \tan(60°) = \frac{{h_2}}{{27.71 \, \text{{см}}}} \]

Решив это уравнение относительно \( h_2 \), мы получаем:

\[ h_2 = 27.71 \, \text{{см}} \cdot \tan(60°) \]

Вычисляя правую часть, мы получаем:

\[ h_2 \approx 47.98 \, \text{{см}} \]

Итак, после всех вычислений мы находим, что длины отрезков \( h_1 \) и \( h_2 \), представляющих высоту треугольника, равны приблизительно 15.98 см и 47.98 см соответственно.