Тригонометрия: 1. Перепишите следующие выражения в виде произведения: а) cos 50° + cos 20°; б) sin 2α - sin 10α
Тригонометрия:
1. Перепишите следующие выражения в виде произведения:
а) cos 50° + cos 20°;
б) sin 2α - sin 10α (α - это "альфа").
2. Рассмотрим выражение: (sin α + sin 3α)/(cos α + cos 3α).
Пожалуйста, переформулируйте его.
1. Перепишите следующие выражения в виде произведения:
а) cos 50° + cos 20°;
б) sin 2α - sin 10α (α - это "альфа").
2. Рассмотрим выражение: (sin α + sin 3α)/(cos α + cos 3α).
Пожалуйста, переформулируйте его.
Evgeniy 55
1. а) Начнем с первого выражения: cos 50° + cos 20°. Чтобы переписать его как произведение, нам понадобится формула суммы косинусов.Формула суммы косинусов: cos (A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B.
Применим эту формулу к нашему выражению:
cos 50° + cos 20° = 2 * cos((50° + 20°)/2) * cos((50° - 20°)/2)
Вычислим значения внутри косинусов:
cos(70°/2) = cos 35°
cos(30°/2) = cos 15°
Теперь мы можем записать переписанное выражение:
cos 50° + cos 20° = 2 * cos 35° * cos 15°
б) Теперь перейдем ко второму выражению: sin 2α - sin 10α. Здесь нам понадобится формула разности синусов.
Формула разности синусов: sin (A - B) = sin A * cos B - cos A * sin B.
Применим эту формулу:
sin 2α - sin 10α = 2 * sin((2α - 10α)/2) * cos((2α + 10α)/2)
Вычислим значения внутри синусов и косинусов:
sin(-8α/2) = sin -4α = -sin 4α
cos(12α/2) = cos 6α
Теперь мы можем записать переписанное выражение:
sin 2α - sin 10α = -2 * sin 4α * cos 6α
2. Рассмотрим выражение: (sin α + sin 3α)/(cos α + cos 3α). Чтобы переформулировать его, нам понадобится формула суммы синусов и косинусов.
Формула суммы синусов: sin (A + B) = sin A * cos B + cos A * sin B.
Формула суммы косинусов: cos (A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B.
Применим эти формулы:
(sin α + sin 3α)/(cos α + cos 3α) = (sin α + sin α * cos 2α + cos α * sin 2α)/(cos α + cos α * cos 2α - sin α * sin 2α)
Мы можем вынести sin α за скобки:
sin α * (1 + cos 2α)/(cos α + cos α * cos 2α - sin α * sin 2α)
А также вынести cos 2α из суммы косинусов:
(cos α * cos 2α - sin α * sin 2α + cos α)/(cos α + cos α * cos 2α - sin α * sin 2α)
Теперь мы можем переформулировать выражение:
(sin α + sin α * cos 2α + cos α)/(cos α + cos α * cos 2α - sin α * sin 2α) = (1 + cos 2α)/(1 + cos α * cos 2α - sin α * sin 2α) + cos α/(1 + cos α * cos 2α - sin α * sin 2α)
В итоге, выражение может быть переформулировано как:
(1 + cos 2α)/(1 + cos α * cos 2α - sin α * sin 2α) + cos α/(1 + cos α * cos 2α - sin α * sin 2α)