У банка есть пять филиалов. Каждый филиал независимо от остальных с вероятностью 0,3 может заказать крупную сумму денег

Сумасшедший_Шерлок_8372

57

Давайте рассмотрим каждое событие по очереди:

а) Вероятность получить ровно две заявки равна сумме вероятностей следующих случаев: первый филиал не заказывает крупную сумму, а остальные четыре филиала заказывают (это сочетание 1-4); первый филиал заказывает, а остальные три филиала не заказывают (сочетание 1-3); первый филиал не заказывает, второй филиал заказывает, а остальные два филиала не заказывают (сочетание 2-2); и наконец, первый и второй филиалы заказывают, а остальные три филиала не заказывают (сочетание 2-3).

Рассчитаем вероятности каждого из этих случаев. Вероятность, что определенный филиал заказывает крупную сумму, равна 0,3. Вероятность, что филиал не заказывает крупную сумму, равна 0,7. Вероятность заказа крупной суммы на один филиал можно рассчитать, учитывая, что существует пять филиалов и вероятность заказа одной крупной суммы на следующий день для каждого филиала независима от других филиалов. Таким образом, вероятность заказа крупной суммы на ровно два филиала равна:

\[
P(\text{2 заявки}) = \binom{5}{2} \times 0,3^2 \times 0,7^3 + \binom{5}{1} \times 0,3^1 \times 0,7^4 + \binom{5}{2} \times 0,3^2 \times 0,7^2 + \binom{5}{2} \times 0,3^2 \times 0,7^3
\]

Вычислив это выражение, получим около 0,635 или 63,5% вероятность получить ровно две заявки.

б) Вероятность получить хотя бы одну заявку можно рассчитать как дополнение к вероятности того, что не будет получено ни одной заявки. То есть:

\[
P(\text{хотя бы одна заявка}) = 1 - P(\text{нет заявок}) = 1 - 0,7^5
\]

Вычислив это выражение, получим около 0,831 или 83,1% вероятность получить хотя бы одну заявку.

в) Для этого случая нам нужно рассмотреть только те события, в которых среди двух филиалов есть первый филиал. Здесь существует два таких случая: первый и второй филиалы заказывают, а остальные три не заказывают (сочетание 2-3); только первый филиал заказывает, а остальные четыре не заказывают (сочетание 1-4).

Вероятность, что первый и второй филиалы заказывают, а остальные три не заказывают, равна:

\[
P(\text{2 заявки, включая первый филиал}) = \binom{4}{1} \times 0,3^2 \times 0,7^3
\]

Вероятность, что только первый филиал заказывает, а остальные четыре не заказывают, равна:

\[
P(\text{1 заявка от первого филиала}) = \binom{4}{0} \times 0,3^1 \times 0,7^4
\]

Суммируем эти два выражения, чтобы получить вероятность данного события:

\[
P(\text{1 заявка от первого филиала}) = \binom{4}{1} \times 0,3^2 \times 0,7^3 + \binom{4}{0} \times 0,3^1 \times 0,7^4
\]

Вычислив это выражение, получим около 0,675 или 67,5% вероятность того, что среди поступивших двух заявок есть заявка от первого филиала.