У какого из двух ящиков вместимость больше и во сколько раз, если оба ящика имеют форму прямоугольного параллелепипеда

Муся

18

Чтобы определить, у какого из двух ящиков вместимость больше и во сколько раз, нам понадобится сравнить объемы обоих ящиков. Для этого необходимо знать размеры и форму ящиков.

По условию, оба ящика имеют форму прямоугольного параллелепипеда с основанием в виде квадрата. Давайте обозначим сторону основания первого ящика через \(a\), а сторону основания второго ящика — через \(b\).

Также известно, что высота первого ящика в \(n\) раз меньше высоты второго. Обозначим высоту первого ящика через \(h_1\) и высоту второго ящика через \(h_2\). Тогда мы можем записать соотношение:
\[h_1 = \frac{h_2}{n}\]

Теперь нам нужно учесть ещё одно условие: периметр дна первого ящика в \(k\) раз больше, чем у второго. Периметр квадрата можно найти, умножив длину стороны на 4. Поэтому периметр дна первого ящика равен \(4a\) и периметр дна второго ящика равен \(4b\). Согласно условию, мы можем записать соотношение:
\[4a = k \cdot 4b\]

Итак, у нас есть два условия:
\[h_1 = \frac{h_2}{n}\]
\[4a = k \cdot 4b\]

Теперь давайте решим эти уравнения относительно сторон основания ящиков и их высоты.

Из первого уравнения получаем, что
\[a = \frac{b}{\sqrt{k}}\]
\[h_1 = \frac{h_2}{n}\]

Подставим значение \(a\) из первого уравнения во второе уравнение:
\[\frac{b}{\sqrt{k}} = \frac{h_2}{n}\]

Теперь выразим высоту первого ящика через известные значения:
\[h_1 = \frac{h_2}{n} = \frac{b}{\sqrt{k}}\]

Таким образом, мы получили выражение для высоты первого ящика через известные значения: \(h_1 = \frac{b}{\sqrt{k}}\).

Теперь найдем выражение для объема каждого из ящиков. Объем прямоугольного параллелепипеда можно найти, умножив площадь основания на высоту. Для первого ящика площадь основания равна \(a^2\), а для второго — \(b^2\), поскольку основание в обоих случаях представляет собой квадрат. Таким образом, объемы ящиков равны:

Для первого ящика: \(V_1 = a^2 \cdot h_1 = \left(\frac{b}{\sqrt{k}}\right)^2 \cdot \frac{b}{\sqrt{k}}\)

Для второго ящика: \(V_2 = b^2 \cdot h_2 = b^2 \cdot \frac{b}{n}\)

Теперь сравним объемы ящиков \(V_1\) и \(V_2\). Для этого найдем их отношение:
\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{\left(\frac{b}{\sqrt{k}}\right)^2 \cdot \frac{b}{\sqrt{k}}}{b^2 \cdot \frac{b}{n}} = \frac{\frac{b^3}{k\sqrt{k}}}{\frac{b^3}{n}} = \frac{n}{k\sqrt{k}}\]

Таким образом, отношение объемов ящиков \(V_1\) и \(V_2\) равно \(\frac{n}{k\sqrt{k}}\).

Ответ: У первого ящика вместимость больше, чем у второго. Во сколько раз — в \(\frac{n}{k\sqrt{k}}\) раз.