У вас есть правильная треугольная призма, у которой все ребра имеют длину 1. Медианы треугольника ABC пересекаются

Solnechnyy_Zaychik_5528

38

Для начала решим задачу о поиске точки пересечения медиан треугольника ABC. Затем решим остальные подзадачи.

1. Поиск точки пересечения медиан треугольника ABC (точки M):
- Медианы треугольника проходят через вершины и середины противолежащих сторон.
- Точка пересечения медиан называется центром тяжести (геометрическим центром) треугольника. Обозначим эту точку M.
- Чтобы найти координаты центра тяжести, можно использовать формулу:
$$x_M=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$$
$$y_M=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$$
$$z_M=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$$
где (x_A, y_A, z_A), (x_B, y_B, z_B), (x_C, y_C, z_C) - координаты вершин треугольника ABC.
- Подставим конкретные значения в формулу для рассматриваемой призмы с ребрами длиной 1:
$$x_M=\frac{0+1+0}{3}=\frac{1}{3}$$
$$y_M=\frac{0+0+1}{3}=\frac{1}{3}$$
$$z_M=\frac{0+0+0}{3}=0$$
- Итак, точка пересечения медиан имеет координаты (1/3, 1/3, 0).

2. Векторное произведение AB на BC:
- Векторное произведение AB на BC определяется по формуле:
$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}=(x_A,y_A,z_A)\times (x_B,y_B,z_B)=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_A& y_A& z_A\\ x_B& y_B& z_B\end{array}\right|$$
где $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ - орты СК векторов.
- Подставим конкретные значения в формулу:
$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right|=\overrightarrow{i}\cdot (0-0)-\overrightarrow{j}\cdot (0-0)+\overrightarrow{k}\cdot (1-0)=(0,0,1)$$
- Итак, результат векторного произведения AB на BC равен (0, 0, 1).

3. Угол между векторами AB и BC:
- Угол между векторами можно найти по формуле:
$$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}$$
где $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ - скалярное произведение векторов, $|\overrightarrow{AB}|$ и $|\overrightarrow{BC}|$ - длины векторов.
- Подставим значения в формулу:
$$\cos (\theta )=\frac{(1,0,0)\cdot (0,1,0)}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}=\frac{0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0}{1\cdot 1}=0$$
- Чтобы найти угол, достаточно взять обратный косинус от полученного значения:
$$\theta =\arccos (0)=\frac{\pi }{2}$$
- Итак, угол между векторами AB и BC равен $\frac{\pi }{2}$.

4. Результат векторного произведения AB:
- Векторное произведение AB определяется по формуле:
$$\overrightarrow{AB}=(x_A,y_A,z_A)\times (x_B,y_B,z_B)=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_A& y_A& z_A\\ x_B& y_B& z_B\end{array}\right|$$
- Подставим значения в формулу:
$$\overrightarrow{AB}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right|=\overrightarrow{i}\cdot (0-0)-\overrightarrow{j}\cdot (0-0)+\overrightarrow{k}\cdot (1-0)=(0,0,1)$$
- Итак, результат векторного произведения AB равен (0, 0, 1).

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!