У якій точці на кривій f(x) = 3x^2 - 4x + 6 дотична є перпендикулярною до прямої 8y + x - 2

Magiya_Zvezd_4344

41

Для того чтобы найти точку, в которой кривая \(f(x) = 3x^2 - 4x + 6\) имеет перпендикулярный дотичный, нам необходимо решить систему уравнений, в которую входят исходная функция \(f(x)\) и уравнение прямой \(8y + x - 2\). Для начала, найдем производную функции \(f(x)\), а затем воспользуемся свойством, что дотичная к кривой является прямой, у которой угловой коэффициент равен производной функции в данной точке.

1. Найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}(3x^2 - 4x + 6)\]

Производная функции \(f(x)\) равна сумме производных каждого члена функции. Производная квадратного члена \(3x^2\) равна \(6x\), производная линейного члена \(-4x\) равна \(-4\), а константа \(6\) имеет производную равную нулю. Итак, производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = 6x - 4\]

2. Теперь найдем уравнение прямой, которая является перпендикулярной дотичной к кривой в заданной точке. Уравнение прямой имеет вид \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент (производная в данной точке), а \(b\) - значение y-координаты интересующей нас точки.

3. Две прямые перпендикулярны друг другу, если и только если произведение их угловых коэффициентов равно -1. В нашем случае, угловой коэффициент дотичной к кривой будет равен \(-\frac{1}{{f"(x)}}\) в интересующей нас точке.

4. Подставим уравнение прямой в уравнение перпендикулярной дотичной и найдем значение \(x\):
\(\frac{{x}}{{8}} = -\frac{{1}}{{6x-4}} + 2\)

5. Решим получившееся уравнение для \(x\). После нахождения \(x\), мы найдем соответствующее значение \(y\) подставив его в уравнение прямой.

(небольшая помощь генератора (можно использовать)\(x = 1.75\))

Ответ: Точка на кривой \(f(x) = 3x^2 - 4x + 6\), в которой дотичная является перпендикуляром прямой \(8y + x - 2\), имеет координаты (1.75, 9.625).