Убедите вас, что когда треугольник, параллельный плоскости, переносится в другую плоскость, его площадь остается

Alekseevna

24

Когда треугольник параллельно переносится в другую плоскость, его площадь действительно остается неизменной. Давайте разберемся, почему это так.

Предположим, у нас есть треугольник ABC, который находится в плоскости P. Плоскость P является параллельной другой плоскости Q. Если мы сдвинем треугольник ABC так, чтобы он оказался в плоскости Q, то его форма и размеры изменятся, но площадь останется такой же.

Для обоснования этого факта воспользуемся определением площади треугольника. Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу Герона или формулу полупериметра треугольника. Оба этих подхода позволяют нам вычислить площадь треугольника, используя длины его сторон.

Когда мы сдвигаем треугольник из плоскости P в плоскость Q, все стороны треугольника сдвигаются вместе с ним. Однако, длины сторон треугольника остаются неизменными при этом сдвиге, так как параллельный перенос не изменяет расстояния между точками.

Аналитический подход: Допустим, у нас есть точка A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), и C(x₃, y₃, z₃) в плоскости P. Выполним параллельный перенос треугольника ABC на вектор (\(a\), \(b\), \(c\)), чтобы перенести его в плоскость Q. Тогда новые координаты точек треугольника будут A"(x₁+a, y₁+b, z₁+c), B"(x₂+a, y₂+b, z₂+c) и C"(x₃+a, y₃+b, z₃+c).

Теперь, чтобы убедиться, что площадь треугольника остается неизменной, мы можем рассчитать площадь треугольников ABC и A"B"C" и сравнить их.

Используя соответствующие формулы для расчета площади треугольника, мы получим, что площадь треугольника ABC равна:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| (x₂ - x₁)(y₃ - y₁) - (y₂ - y₁)(x₃ - x₁) \right|\]

А площадь треугольника A"B"C" равна:

\[S_{A"B"C"} = \frac{1}{2} \left| ((x₂+a) - (x₁+a))((y₃+b) - (y₁+b)) - ((y₂+b) - (y₁+b))((x₃+a) - (x₁+a)) \right|\]

Мы замечаем, что площадь треугольника A"B"C" равна площади треугольника ABC, так как у нас есть скалярные множители для каждого слагаемого, и \(a\), \(b\), и \(c\) сокращаются.

Из этого следует, что когда треугольник параллельно переносится в другую плоскость, его площадь остается неизменной.

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника не меняется при параллельном переносе в другую плоскость.