Угол M в ромбе MNPK равен 60°, О – точка пересечения диагоналей (рисунок 78). Найдите угол между следующими парами

Зарина

33

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим каждую часть по отдельности.

а) Найдем угол между векторами MN и NP.
Для этого воспользуемся формулой скалярного произведения: \(\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{MN} \cdot \mathbf{NP}}}{{|\mathbf{MN}|\cdot |\mathbf{NP}|}}\), где \(\theta\) - искомый угол.

Зная, что угол M в ромбе MNPK равен 60°, можем сказать, что \(\angle MNP = 60^\circ\) (так как угол M является внутренним углом ромба).

Теперь нам нужно найти значения векторов MN и NP.
Вектор MN - это разность координат точек N и M, то есть \(\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M}\).

Зная, что O - точка пересечения диагоналей, можем записать: \(\vec{N} = \vec{O} + \vec{NP}\) и \(\vec{M} = \vec{O} + \vec{MK}\).
Таким образом, \(\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = (\vec{O} + \vec{NP}) - (\vec{O} + \vec{MK}) = \vec{NP} - \vec{MK}\).

Теперь подставим значения в формулу скалярного произведения:
\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{MN} \cdot \vec{NP}}}{{|\vec{MN}| \cdot |\vec{NP}|}}\).

Полученное значение угла \(\theta\) будет являться ответом на эту часть задачи. В итоге, мы нашли искомый угол между векторами MN и NP.

б) Теперь рассмотрим угол между векторами МК и РК.
Процедура решения будет аналогичной.

Вектор МК - это разность координат точек K и M, то есть \(\vec{МК} = \vec{K} - \vec{M}\).
Вектор РК - это разность координат точек K и P, то есть \(\vec{РК} = \vec{K} - \vec{P}\).

Теперь подставим значения в формулу скалярного произведения:
\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{МК} \cdot \vec{РК}}}{{|\vec{МК}| \cdot |\vec{РК}|}}\).

г) Для угла между векторами МК и NP применяем аналогичный подход. Получим формулу:
\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{МК} \cdot \vec{NP}}}{{|\vec{МК}| \cdot |\vec{NP}|}}\).

д) Также для угла между векторами NO применяем аналогичный подход:
\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{NO} \cdot \vec{NO}}}{{|\vec{NO}| \cdot |\vec{NO}|}}\).

В итоге, раскрыв все формулы скалярного произведения, выразив значения векторов через координаты точек и получив численное значение косинуса угла, мы можем ответить на каждую часть задачи и найти значение угла между векторами.