Укажите значения x на отрезке [3п/2, 2п], которые являются корнями уравнения 4cos³x + 3cosx + 4√3 = 4√3sin²x

Звездный_Адмирал

36

Хорошо, чтобы решить данное уравнение, мы должны найти значения \(x\) на интервале \([3\pi/2, 2\pi]\), для которых уравнение \(4\cos^3(x) + 3\cos(x) + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\sin^2(x)\) выполняется.

Давайте разберемся с этим уравнением пошагово:

Шаг 1: Преобразование уравнения

Первым шагом давайте преобразуем уравнение, чтобы упростить его. Мы заметим, что \(4\sqrt{3}\) присутствует и в левой и в правой части уравнения. Начнем с вычитания \(4\sqrt{3}\) из обеих частей:

\[4\cos^3(x) + 3\cos(x) - 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\sin^2(x) - 4\sqrt{3}\]

Шаг 2: Преобразование trigonometric

Теперь давайте заменим \(\sin^2(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\), используя тригонометрическое тождество:

\[4\cos^3(x) + 3\cos(x) - 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}(1 - \cos^2(x)) - 4\sqrt{3}\]

Продолжим упрощать:

\[4\cos^3(x) + 3\cos(x) - 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}\cos^2(x) - 4\sqrt{3}\]

Шаг 3: Группировка и факторизация

Теперь давайте сгруппируем соответствующие члены и попробуем факторизовать уравнение. Заметим, что у нас есть общий множитель \(\cos^2(x)\) во втором и третьем членах:

\[4\cos^3(x) - 4\sqrt{3}\cos^2(x) + 3\cos(x) - 4\sqrt{3} = 0\]

Факторизуем этот общий множитель:

\[\cos^2(x)(4\cos(x) - 4\sqrt{3}) + (3\cos(x) - 4\sqrt{3}) = 0\]

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь давайте решим это уравнение, равняя каждый фактор нулю:

\[\cos^2(x) = 0 \quad \text{или} \quad 4\cos(x) - 4\sqrt{3} = 0\]

Решим первое уравнение:

\[\cos^2(x) = 0 \Rightarrow \cos(x) = 0\]

Известно, что значения \(x\), для которых \(\cos(x) = 0\), образуют последовательность корней через интервалы \(\pi/2 + n\pi\) и \(-\pi/2 + n\pi\), где \(n\) - целое число. В данном случае, на интервале \([3\pi/2, 2\pi]\), у нас есть одно такое значение \(x\), а именно \(\pi\).

Теперь решим второе уравнение:

\[4\cos(x) - 4\sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos(x) = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\]

Известно, что значения \(x\), для которых \(\cos(x) = \sqrt{3}\), образуют последовательность корней через интервалы \(2\pi/3 + 2n\pi\) и \(4\pi/3 + 2n\pi\), где \(n\) - целое число. На интервале \([3\pi/2, 2\pi]\), такого значения \(x\) нет.

Итак, на интервале \([3\pi/2, 2\pi]\), уравнение \(4\cos^3(x) + 3\cos(x) + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\sin^2(x)\) имеет только одно решение, \(x = \pi\).

Надеюсь, я смог дать подробное и понятное объяснение данной задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!