Упростите термин tg(a+b)-tga×tgb×tg(a+b). Заранее

Ledyanoy_Podryvnik

18

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства тригонометрических функций.

1. Свойство синуса и косинуса суммы:
\(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)
\(\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\)

2. Свойство тангенса суммы:
\(\tan(a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a \tan b}}\)

Теперь обратимся к данной задаче. У нас есть выражение \(tg(a+b)-tga×tgb×tg(a+b)\). Давайте пошагово упростим его.

1. Раскроем скобки внутри тангенсов, используя свойство синуса и косинуса суммы:
\(\tan(a + b) = \frac{{\sin(a + b)}}{{\cos(a + b)}}\)
Подставим это в исходное выражение:
\(\frac{{\sin(a + b)}}{{\cos(a + b)}} - \tan a \cdot \tan b \cdot \frac{{\sin(a + b)}}{{\cos(a + b)}}\)

2. Теперь объединим дроби с общим знаменателем \(\cos(a + b)\):
\(\frac{{\sin(a + b) - \tan a \cdot \tan b \cdot \sin(a + b)}}{{\cos(a + b)}}\)

3. Вынесем \(\sin(a + b)\) за скобки:
\(\sin(a + b) \cdot \left(1 - \tan a \cdot \tan b\right) \cdot \frac{1}{{\cos(a + b)}}\)

4. Заменим \(\frac{{\sin(a + b)}}{{\cos(a + b)}}\) на \(\tan(a + b)\), используя свойство тангенса суммы:
\(\tan(a + b) \cdot \left(1 - \tan a \cdot \tan b\right)\)

Итак, упрощенное выражение равно \(\tan(a + b) \cdot \left(1 - \tan a \cdot \tan b\right)\).