Установили соединение между серединами двух противоположных сторон параллелограмма, как это показано на рисунке
Установили соединение между серединами двух противоположных сторон параллелограмма, как это показано на рисунке. Показанная на рисунке закрашенная фигура является ромбом. Можно ли утверждать, что у данного параллелограмма диагонали равны? Предоставьте доказательство.
Zagadochnyy_Ubiyca 49
Да, можно утверждать, что диагонали данного параллелограмма равны. Позвольте объяснить, почему это так.Возьмем параллелограмм ABCD (как на рисунке), где AC и BD - диагонали. Нам также известно, что линия, проходящая через середины противоположных сторон параллелограмма, образует ромб.
Для начала заметим, что соединив середины сторон AB и CD с помощью отрезка EF (как показано на рисунке), мы получим два треугольника: AEF и CEF. Эти треугольники имеют две пары равных сторон: AE = EC и AF = FC. Поскольку середины сторон взаимно соединены отрезком EF, то длина отрезка AE будет равна длине отрезка CF (по свойству серединного перпендикуляра).
Таким образом, у нас имеются две одинаковые стороны AE и CF, а также две одинаковые стороны AF и EC. Следовательно, треугольники AEF и CEF равны по сторонам и по углам (по одной стороне и двум углам). Поэтому они являются равнобедренными треугольниками.
Опять же, по свойству параллелограмма, противоположные стороны параллелограмма равны. Таким образом, сторона AB равна стороне CD, а сторона BC равна стороне AD.
Теперь, рассмотрим треугольники AEF и CEF. Из равнобедренности треугольников следует, что у них также равны углы при основании. То есть, ∠AEF = ∠CEF (как и ∠A = ∠C по свойству параллелограмма).
Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник BFE, где углы при основании соответственно ∠BFE и ∠B = 90°. Поскольку у нас уже известно, что ∠A = ∠C, то угол ∠CEF, который является вертикальным углом к ∠BFE, также равен 90°.
Таким образом, у нас получаются два прямоугольных треугольника, BFE и CEF, с равными прямыми углами ∠BFE = ∠CEF = 90° и с равными катетами BF и CE.
Для прямоугольных треугольников известно, что если равны два катета, то и гипотенузы этих треугольников равны. Поэтому, гипотенуза BE треугольника BFE равна гипотенузе CE треугольника CEF.
То есть, BE = CE. Но стороны BE и CE являются диагоналями параллелограмма ABCD.
Следовательно, утверждение, что диагонали данного параллелограмма равны, подтверждается.
\[Докажите BFE это прямоугольный треугольник. Вы упустили это докозательство.\]