Установите, при каких натуральных значениях n выражение cos1°⋅cos2°⋅cos3°⋅...⋅cosn° будет а) иметь положительное

Zagadochnyy_Peyzazh

41

Хорошо, рассмотрим данную задачу более подробно.

Пусть \( P \) - произведение всех значений \(\cos\) от 1° до \( n \) градусов. Мы должны найти значения \( n \), при которых \( P \) будет положительным и отрицательным.

а) Чтобы выражение \( P \) было положительным, необходимо и достаточно, чтобы все его множители (\(\cos\) значений) были положительными. Заметим, что значение \(\cos\) в первом квадранте (0° до 90°) положительно, а во всех остальных квадрантах отрицательно.

Для того, чтобы выражение \( P \) было положительным, каждое значение \(\cos\) должно находиться в первом квадранте (0° до 90°). Рассмотрим ограничение по значению \( n \). Поскольку \(\cos\) - периодическая функция с периодом 360°, будем искать значение \( n \) в интервале от 0 до 360°.

Таким образом, положительные значения \( n \) удовлетворяют условию \( n \in [0°; 360°] \).

б) Чтобы выражение \( P \) было отрицательным, необходимо и достаточно, чтобы количество отрицательных множителей (\(\cos\) значений) было нечетным. Поскольку в нашем выражении \( P \) все отрицательные множители (\(\cos\) значений) находятся во втором квадранте (90° до 180°) и в третьем квадранте (180° до 270°), не существует натурального числа \( n \), при котором \( P \) было бы отрицательным.

Таким образом, ответ на задачу:

а) \( n \in [0°; 360°] \), чтобы выражение \( \cos1°⋅\cos2°⋅\cos3°⋅...\cos n°\) имело положительное значение.

б) Нет натуральных значений \( n \), при которых выражение \( \cos1°⋅\cos2°⋅\cos3°⋅...\cos n°\) имело бы отрицательное значение.