Каковы оптимальные размеры цилиндрического бака объемом 137,842π, чтобы минимизировать расход материала

Ласточка

13

Для того чтобы найти оптимальные размеры цилиндрического бака, мы должны учесть ограничения его объема и минимизировать расход материала при изготовлении. Давайте рассмотрим это пошагово:

1. Необходимо найти выражение для количества материала, которое будет использовано при изготовлении цилиндрического бака. Давайте обозначим радиус основания цилиндра как \(r\) и высоту цилиндра как \(h\). Площадь поверхности цилиндра можно выразить следующим образом:
\[S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\]

2. Теперь, с учетом ограничения объема, мы можем записать уравнение, связывающее радиус и высоту цилиндра с его объемом. Формула объема цилиндра:
\[V = \pi r^2 h\]

3. Для минимизации расхода материала, мы должны найти оптимальные значения \(r\) и \(h\), при которых площадь поверхности цилиндра будет минимальной.

4. Для начала, проведем замену в выражении площади поверхности цилиндра, используя уравнение ограничения объема:
\[S = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\]

5. Теперь мы можем взять производную площади поверхности по \(r\) и приравнять ее к нулю, чтобы найти точку экстремума площади:
\[\frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0\]

6. Решим это уравнение относительно \(r\):
\[4\pi r = \frac{2V}{r^2}\]
\[r^3 = \frac{V}{2\pi}\]
\[r = \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{1}{3}}\]

7. Чтобы найти высоту \(h\), подставим найденное значение \(r\) в уравнение ограничения объема и решим его относительно \(h\):
\[V = \pi r^2 h\]
\[h = \frac{V}{\pi r^2}\]

8. Подставим найденные значения \(r\) и \(h\) в выражение для площади поверхности цилиндра, чтобы найти минимальную площадь:
\[S = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\]

Таким образом, оптимальные размеры цилиндрического бака будут равны \(r = \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{1}{3}}\) и \(h = \frac{V}{\pi r^2}\), где \(V = 137,842\pi\).

Для получения конкретных числовых значений, подставьте \(V = 137,842\pi\) в формулы для \(r\) и \(h\), а затем найдите значение \(S\).