Узелгенли тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 10 см, ал іштей сызылған шеңбердің диаметрі 2 см-ге тең. Үшбұрыштың

Pylayuschiy_Drakon

27

1) Для первой задачи нам дано, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а диаметр вписанной окружности равен 2 см. Нам нужно найти измерения этого треугольника.

Для начала вспомним свойство прямоугольного треугольника, которое гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае это будет выглядеть так:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

Также нам известно, что радиус окружности равен половине диаметра. То есть радиус \(r = 1\,\text{см}\).

Теперь мы можем воспользоваться другим свойством: радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника является половиной гипотенузы. То есть \(r = \frac{c}{2}\). Подставив значение радиуса и гипотенузы, получим:

\[1 = \frac{10}{2}\]

Теперь можем решить систему уравнений для нахождения катетов:

\[\begin{cases} a^2 + b^2 = 10^2 \\ a + b + 10 = 24 \end{cases}\]

Из второго уравнения можно выразить, например, \(b\):

\[b = 24 - a - 10\]

Подставим это в первое уравнение:

\[a^2 + (24 - a - 10)^2 = 100\]

Решая полученное квадратное уравнение, найдем значение \(a\). Подставив его обратно во второе уравнение, найдем \(b\).

Таким образом, решив данную систему уравнений, мы найдем значения катетов треугольника.

2) Во второй задаче нам дано, что катеты прямоугольного треугольника равны 10 см, а диаметр вписанной окружности равен 13 см. Нам необходимо найти измерения этого треугольника.

Мы знаем, что радиус окружности опущенной на гипотенузу равен половине диаметра. То есть радиус \(r = \frac{13}{2}\).

Также, как и в предыдущей задаче, радиус вписанной окружности можно выразить через катеты:

\[r = \frac{a + b - c}{2}\]

Где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} \frac{a + b - 10}{2} = \frac{13}{2} \\ a^2 + b^2 = 10^2 \end{cases}\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения катетов треугольника.

3) В третьей задаче нам сказано, что сумма катетов прямоугольного треугольника в отношении 3:4 равна 24 см, а периметр равен 24 см. Нам нужно найти диаметр вписанной окружности.

Пусть \(a\) и \(b\) - длины катетов, тогда сумма катетов равна \(a + b\).

Из условия задачи известно, что:

\[\frac{a}{b} = \frac{3}{4}\]

Также нам дано, что периметр равен 24 см:

\[a + b + c = 24\]

где \(c\) - гипотенуза.

Мы также знаем, что радиус окружности, вписанной в треугольник, является половиной гипотенузы.

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} a + b = 24 - c \\ \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \end{cases}\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения катетов треугольника. Затем можно будет найти гипотенузу и диаметр вписанной окружности.