В каком интервале находится корень уравнения (1/27)^0,5x-1=9?

Magnitnyy_Marsianin

36

Для решения данного уравнения, нам необходимо найти интервал или диапазон значений переменной \( x \), в котором корень этого уравнения находится.

Начнем с того, что перепишем данное уравнение:

\[\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{2}x - 1} = 9\]

Чтобы избавиться от степенного выражения, возьмем логарифм от обеих частей уравнения. Мы можем выбрать любую систему логарифмов для решения этой задачи. Давайте воспользуемся естественным логарифмом, обозначаемым как \( \ln \). Применение логарифмических свойств облегчит нам дальнейшие вычисления.

\[\ln{\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{2}x - 1}\right)} = \ln{9}\]

Свойство логарифма говорит нам, что логарифм степени равен произведению степени на логарифм основания. Применив это свойство, мы можем переписать уравнение:

\[\left(\frac{1}{2}x - 1\right)\ln{\left(\frac{1}{27}\right)} = \ln{9}\]

Теперь соединим константы и переменные в одной части уравнения:

\[\frac{1}{2}x - 1 = \frac{\ln{9}}{\ln{\left(\frac{1}{27}\right)}}\]

Для упрощения дроби в знаменателе, заметим, что \(\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3\).

\[\frac{1}{2}x - 1 = \frac{\ln{9}}{\ln{\left(\frac{1}{3}\right)^3}}\]

Используя свойство логарифма \( \log_{a^b}{c} = \frac{\log_a{c}}{b} \), мы можем переписать знаменатель:

\[\frac{1}{2}x - 1 = \frac{\ln{9}}{3\ln{\left(\frac{1}{3}\right)}}\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно переменной \( x \).

Для этого добавим 1 к обеим частям уравнения:

\[\frac{1}{2}x = 1 + \frac{\ln{9}}{3\ln{\left(\frac{1}{3}\right)}}\]

Затем умножим обе части на 2:

\[x = 2\left(1 + \frac{\ln{9}}{3\ln{\left(\frac{1}{3}\right)}}\right)\]

Остается только вычислить значение выражения в скобках. Затем мы сможем найти конечное значение переменной \( x \).

Таким образом, задача решения данного уравнения сводится к подсчету значения выражения в скобках и получению окончательного значения переменной \( x \).