В какой диапазон попадает значение x, являющееся корнем уравнения (4^1/2-x)^2=1/8?

Тайсон

69

Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Дано уравнение \((4^{\frac{1}{2}} - x)^2 = \frac{1}{8}\).

Шаг 2: Разложим \(4^{\frac{1}{2}}\) на \(2^{\frac{1}{2}}\), так как \((a^b)^c = a^{bc}\). Получим \((2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^1 = 2\).

Шаг 3: Подставим это значение в уравнение и получим \((2 - x)^2 = \frac{1}{8}\).

Шаг 4: Применим квадратный корень к обеим сторонам уравнения: \(\sqrt{(2 - x)^2} = \sqrt{\frac{1}{8}}\).

Шаг 5: Упростим выражение внутри корня: \(2 - x = \frac{1}{\sqrt{8}}\).

Шаг 6: Упростим правую сторону уравнения: \(\frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\).

Шаг 7: Вычислим это значение: \(\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}\).

Шаг 8: Подставим это значение обратно в уравнение: \(2 - x = \frac{\sqrt{2}}{4}\).

Шаг 9: Чтобы избавиться от отрицательного знака перед \(x\), умножим обе стороны уравнения на -1: \(-2 + x = -\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Шаг 10: Теперь сложим обе части уравнения: \(x - 2 = -\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Шаг 11: Перенесем -2 на другую сторону уравнения: \(x = -\frac{\sqrt{2}}{4} + 2\).

Шаг 12: Упростим правую сторону уравнения: \(x = \frac{8 - \sqrt{2}}{4} = \frac{4(2) - \sqrt{2}}{4} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{4}\).

Таким образом, значение \(x\), являющееся корнем уравнения \((4^{\frac{1}{2}} - x)^2 = \frac{1}{8}\), находится в диапазоне \(x = 2 - \frac{\sqrt{2}}{4}\).