Чему равна диагональ квадрата, в который вписана окружность с радиусом 8√2?

Petr

28

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств квадратов и окружностей. Давайте начнем:

По определению, вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон квадрата. Для нахождения диагонали квадрата, в который вписана окружность, нам необходимо знать радиус окружности.

В данном случае, радиус окружности равен \(8\sqrt{2}\). Теперь мы можем найти сторону квадрата, в который вписана окружность.

Пусть \(a\) – сторона квадрата. Так как окружность касается всех сторон квадрата, то у нас есть следующее соотношение: радиус окружности равен половине стороны квадрата.

\[8\sqrt{2} = \frac{a}{2}\]

Чтобы избавиться от деления на 2, умножим обе части уравнения на 2:

\[16\sqrt{2} = a\]

Теперь мы знаем сторону квадрата \(a = 16\sqrt{2}\). Чтобы найти диагональ, воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагональ квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его стороны – это стороны этого треугольника. Поэтому мы можем записать:

\[d^2 = a^2 + a^2\]

Подставим значение стороны квадрата \(a = 16\sqrt{2}\) в уравнение:

\[d^2 = (16\sqrt{2})^2 + (16\sqrt{2})^2\]

\[d^2 = 256 \cdot 2 + 256 \cdot 2\]

\[d^2 = 512 + 512\]

\[d^2 = 1024\]

Теперь найдем корень из обоих частей уравнения:

\[d = \sqrt{1024}\]

\[d = 32\]

Таким образом, диагональ квадрата, в который вписана окружность с радиусом \(8\sqrt{2}\), равна 32.