В кубе ABCDA1B1C1D1, на ребрах B1A1 и A1D1, точки N и M отмечены так, что отношение B1N:NA1 равно 1:4 и отношение

Dmitrievich

39

Пусть сторона куба равна \(x\) (по условию не дано значение, предположим, что это сторона куба).

Мы знаем, что \(B_1N : NA_1 = 1 : 4\) и \(A_1M : MD_1 = 1 : 1\).

Рассмотрим треугольник \(B_1NA_1\). Из условия задачи известно, что \(\dfrac{B_1N}{NA_1} = \dfrac{1}{4}\).

Также мы знаем, что внутри куба диагонали пересекаются в прямой угол. Следовательно, \(\angle MAB_1 = \angle MDA_1 = 90^\circ\).

Теперь посмотрим на треугольник \(A_1MD_1\). Если мы рассмотрим отношение \(\dfrac{A_1M}{MD_1}\), то заметим, что оно равно 1 : 1.

Таким образом, получается, что треугольники \(B_1NA_1\) и \(A_1MD_1\) являются подобными:

\[
\frac{B_1N}{A_1M} = \frac{NA_1}{MD_1} = \frac{B_1A_1}{A_1D_1}
\]

Теперь выразим искомый косинус угла \(\alpha\) через отношение сторон подобных треугольников:

\[
\cos\alpha = \frac{B_1N}{B_1A_1}
\]

Найдем значение \(\cos\alpha\):

Так как в кубе \(B_1A_1 = x \), то \( B_1N = x - A_1N = x - 4A_1N \), так как \( B_1N : NA_1 = 1 : 4 \).

Так как в кубе \(B_1N = x - 4A_1N\), то \( \frac{B_1N}{B_1A_1} = \frac{x - 4A_1N}{x} \).

Так как \( A_1M = MD_1 \), то \( A_1M = \frac{1}{2}MD \), тогда \( MD_1 = 2A_1M \).

Так как \( MD_1 = 2A_1M \), то \( \frac{MD_1}{A_1M} = \frac{2A_1M}{A_1M} \).

Но по условию и \( B_1N : NA_1 = 1 : 4 \).

Так как в кубе \( \frac{B_1N}{NA_1} = \frac{1}{4} \), то \( \frac{MD_1}{A_1M} = \frac{2A_1M}{A_1M} = \frac{1}{4} \).

Отсюда находим \(A_1M = \frac{1}{6}x\).

Теперь можно найти \(\cos\alpha\):

\[
\cos\alpha = \frac{x - 4A_1N}{x} = \frac{x - 4 \cdot \left(\frac{1}{6}x\right)}{x} = \frac{x - \frac{2}{3}x}{x} = \frac{\frac{1}{3}x}{x} = \frac{1}{3}
\]

Таким образом, косинус угла \(\alpha\) между прямыми \(BN\) и \(AM\) равен \(\frac{1}{3}\).