1. Могут ли прямые a и b быть параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях α и β? Могут ли они быть

Маркиз_7979

29

Задача 1:
Прямые a и b могут быть параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях α и β. Если плоскости α и β параллельны, то все прямые, лежащие в этих плоскостях, будут параллельными между собой.

Прямые a и b не могут быть скрещивающимися, если они лежат в параллельных плоскостях α и β. Прямые скрещиваются, когда они имеют общую точку пересечения, а если плоскости параллельны, то общей точки пересечения у них нет.

Ниже приведены диаграммы для каждого из возможных случаев:

\[
\text{Диаграмма для случая, когда } a \text{ и } b \text{ параллельны}:
\]

a
|
α -------|------- β
|
b

\[
\text{Диаграмма для случая, когда } a \text{ и } b \text{ скрещиваются:}
\]

a
|
α -------|------- β
|
b

Задача 2:
Площадь боковой поверхности прямоугольной призмы может быть найдена по формуле \(S_{\text{бок}} = P \times H\), где P - периметр основания, а H - высота.
Периметр параллелограмма можно найти, используя формулу \(P = 2 \times (a + b)\), где a и b - стороны параллелограмма.

В данной задаче, стороны параллелограмма равны 4 м и 5 м, а угол между ними равен 30˚. Найдём периметр основания:
\(P = 2 \times (4 \, \text{м} + 5 \, \text{м}) = 18 \, \text{м}\)

Высота призмы равна 7 м.

Теперь подставим значения в формулу площади боковой поверхности:
\(S_{\text{бок}} = 18 \, \text{м} \times 7 \, \text{м} = 126 \, \text{м}^2\)

Для нахождения площади полной поверхности призмы нужно добавить к площади боковой поверхности удвоенную площадь основания. Площадь основания параллелограмма вычисляется по формуле \(S_{\text{осн}} = a \times b \times \sin{\theta}\), где a и b - стороны параллелограмма, а \(\theta\) - угол между ними.

Вычислим площадь основания:
\(S_{\text{осн}} = 4 \, \text{м} \times 5 \, \text{м} \times \sin{30^\circ} = 10 \, \text{м}^2\)

Теперь найдём площадь полной поверхности:
\(S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{осн}} = 126 \, \text{м}^2 + 2 \times 10 \, \text{м}^2 = 146 \, \text{м}^2\)

Ответ:
Площадь боковой поверхности призмы равна 126 м^2.
Площадь полной поверхности призмы равна 146 м^2.

Задача 3:
1) Угол между плоскостями МBС и АВC можно найти, вычислив разность между 180˚ и углом ВАС. Угол ВАС равен 60˚, поэтому угол между плоскостями МBС и АВC будет равен:
\(Угол\,МBСАВС = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)

2) Площадь сечения пирамиды плоскостью BМC можно найти, используя формулу \(S_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} \times \text{сторона основания} \times \text{высота},\) где сторона основания - отрезок BС, а высота - расстояние от вершины пирамиды D до плоскости BМC.

Дано, что АD = 4 см. Точка М - середина отрезка АD, поэтому МD = \(\frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2\) см.

Чтобы найти высоту пирамиды DABC (расстояние от вершины D до плоскости BМC), возьмем правильную треугольную пирамиду с основанием BDA и продлим боковое ребро BA до плоскости BМC. Обозначим точку пересечения BC и плоскости BМC как E. Тогда высота DE будет равна высоте пирамиды DABC.

Так как треугольник ВАС - правильный, то в нем угол ВАС = 60˚, а сторона ВС = 2 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BЕС. Угол Е равен 90˚, сторона ЕС = стороне BC = 2 см, угол СЕВ = углу ВАС = 60˚. Мы можем использовать формулу синусов, чтобы найти высоту DE:
\[
\sin{60^\circ} = \frac{EC}{BC} = \frac{DE}{DC}
\]
\[
DE = DC \times \sin{60^\circ} = 2 \, \text{см} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \, \text{см}
\]

Теперь мы можем найти площадь сечения пирамиды BМC:
\[
S_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} \times BC \times DE = \frac{1}{2} \times 2 \, \text{см} \times \sqrt{3} \, \text{см} = \sqrt{3} \, \text{см}^2
\]

Ответ:
1) Угол между плоскостями МBС и АВC равен 120˚.
2) Площадь сечения пирамиды плоскостью BМC равна \(\sqrt{3}\) см^2.