В кулі з об ємом 256/3 см^3 зроблено перетин. Лінія, що з єднує центр кулі з точкою перерізу перетину, утворює

Сквозь_Подземелья

30

Для решения данной задачи нам потребуется использовать свойства пересечения плоскостей сферы.

Предположим, что наш пересекающий плоскость проходит через центр сферы. Тогда данная плоскость является диаметральной плоскостью сферы, и пересечение сферы и плоскости будет кругом.

Обратите внимание, что мы знаем объем сферы, который равен \(\frac{256}{3}\) \(\text{см}^3\). Воспользуемся формулой для объема сферы:

\[
V = \frac{4}{3} \pi r^3,
\]

где \(V\) - объем, \(\pi\) - число пи, \(r\) - радиус сферы.

Заменим в формуле объема \(V\) на \(\frac{256}{3}\) \(\text{см}^3\) и решим уравнение относительно \(r\):

\[
\frac{256}{3} = \frac{4}{3} \pi r^3.
\]

Делим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\pi\) и извлекаем кубический корень:

\[
r^3 = \frac{3}{4\pi} \cdot \frac{256}{3} = \frac{256}{4\pi} = \frac{64}{\pi}.
\]

Извлекаем кубический корень и получаем радиус сферы:

\[
r = \sqrt[3]{\frac{64}{\pi}}.
\]

Вернемся к задаче о пересечении сферы и плоскости. Нам дано, что линия, соединяющая центр сферы с точкой пересечения, образует угол в 30° с плоскостью пересечения. Этот угол является углом между радиусом сферы и нормалью плоскости пересечения.

Из геометрии известно, что косинус угла между векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их модулей. В данном случае, модуль вектора радиуса сферы равен его радиусу \(r\), а скалярное произведение равно произведению модулей векторов, умноженному на косинус угла между ними. Обозначим площадь пересечения сферы и плоскости как \(S\).

Тогда, используя формулу для площади сектора круга:

\[
S_{\text{сектора}} = \frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2,
\]

где \(\theta\) - центральный угол сектора, найдем площадь сектора сферы, образованного пересечением сферы и плоскости:

\[
S_{\text{сектора}} = \frac{30^\circ}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{1}{12} \pi r^2.
\]

Теперь, для нахождения площади пересечения самой плоскости сферы, найдем площадь сегмента сферы, который образуется пересечением:

\[
S_{\text{сегмента}} = S - S_{\text{сектора}}.
\]

Так как угол \(\theta\) равен 30°, то

\[
\theta = \frac{\pi}{6}.
\]

тогда

\[
S_{\text{сегмента}} = S - \frac{1}{12} \pi r^2.
\]

Теперь подставим значение радиуса, которое мы получили ранее, и найдем площадь пересечения:

\[
S_{\text{сегмента}} = S - \frac{1}{12} \pi \left(\sqrt[3]{\frac{64}{\pi}}\right)^2.
\]

Вычислив это значение, мы получим итоговую площадь пересечения сферы и плоскости.