В параллелограмме ABCD, точка N делит сторону BC в отношении 2:3, считая от вершины A. Разложите вектор AN по векторам

Kiska

39

Для начала рассмотрим параллелограмм ABCD. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Также вектор AB и вектор AD являются двумя сторонами параллелограмма ABCD, а вектор AN - его диагональю.

Для разложения вектора AN по векторам AB и AD воспользуемся методом параллелограмма. Согласно этому методу, вектор AN можно представить в виде суммы двух векторов, направления которых равны направлениям векторов AB и AD, а их модули пропорциональны отрезкам, на которые точка N делит сторону BC.

Итак, пусть вектор AN разлагается на векторы \( \vec{X} \) и \( \vec{Y} \), направления которых совпадают с направлениями векторов AB и AD соответственно. Тогда, согласно методу параллелограмма, мы можем записать:

\[ \vec{AN} = \vec{X} + \vec{Y} \]

Теперь найдем модули векторов \( \vec{X} \) и \( \vec{Y} \), используя отношение, в котором точка N делит сторону BC.

Пусть отрезок BN имеет длину \( 2x \), тогда отрезок CN имеет длину \( 3x \) (считая от вершины A). Вектор BC можно представить в виде суммы векторов BN и NC:

\[ \vec{BC} = \vec{BN} + \vec{NC} \]

Так как стороны параллелограмма равны и параллельны, вектор BC равен вектору AD:

\[ \vec{BC} = \vec{AD} \]

Теперь мы можем записать:

\[ \vec{AD} = \vec{BN} + \vec{NC} \]

Так как вектор AN - это диагональ параллелограмма, то он равен разности векторов AB и AD:

\[ \vec{AN} = \vec{AB} - \vec{AD} \]

Теперь мы можем представить вектор AN в виде суммы двух векторов \( \vec{X} \) и \( \vec{Y} \):

\[ \vec{AN} = \vec{X} + \vec{Y} \]

Сравнивая эти два уравнения, получаем:

\[ \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{X} + \vec{Y} \]

Но мы знаем, что вектор AD равен вектору BC, поэтому эту формулу можно переписать следующим образом:

\[ \vec{AB} - \vec{BC} = \vec{X} + \vec{Y} \]

Таким образом, мы разложили вектор AN по векторам AB и AD.